应力应变分析 强度理论

1. 应力应变分析 强度理论

2. 应力应变分析 强度理论 • 应力状态概述 • 平面应力状态分析——解析法 • 平面应力状态分析——图解法 • 三向应力状态* • 广义胡克定律 • 强度理论

3. §应力状态概述§

4. 低碳钢和铸铁的拉伸试验 低碳钢 铸铁 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？

5. 低碳钢和铸铁的扭转试验 低碳钢 铸铁 为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？

6. (1)不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力;(1)不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; (2)同一横截面上不同点的应力各不相同; (3)同一点不同方向上的应力也各不相同。 由试验得到的重要结论： 失效的原因与应力状态无关 失效的形式与应力状态有关

7. s s   p  回顾轴向拉伸斜截面上的应力 = cos2 =cos·sin=/2 ·sin2 结果表明： 同一点不同方向上的应力各不相同，即应力与面有关。

8. 回顾横力弯曲时横截面上点的应力: σ τ 结果表明： 同一横截面上不同点的应力不相同，即应力与点有关。

9. 同一横截面上不同点的应力不相同，即应力与点有关。同一横截面上不同点的应力不相同，即应力与点有关。 同一点不同方向上的应力各不相同，即应力与面有关。 一点的应力状态 通过一点不同方向面上应力变化情况的集合，称之为这一点的应力状态，亦指该点的应力全貌。

10. 1. 单元体：构件内的点的代表物，是代表被研究点的无限小的几何体，空间中常用的是正六面体。 应力状态的研究方法 2. 单元体特征 单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布； 任意一对平行平面上的应力相等。

11. 3. 主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体 4. 主平面 切应力为零的截面 5. 主应力 主平面上的正应力 说明: 一点处必定存在这样的一个主单元体，三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 ,3 ,且规定按代数值大小的顺序来排列，即

12. 主应力排列规定：按代数值大小， 图示单元体，其上只有主应力， 无切应力。 则 100 0 －120

13. 应力状态的分类 三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3均不等于零

14. 平面应力状态 平面应力状态：三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零。 二向应力状态 单向应力状态 纯剪应力状态 单向应力状态：三个主应力 中只有一个不等于零。

15. 二向应力状态实例 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态 取n-n截面，分析右侧部分

16. 再取圆筒的上半环分析 如图示取一段微面积 微面积上的压力 在 y 轴上投影 投影和为 结论：薄壁圆筒更容易沿轴向方向开裂。

17. §平面应力状态分析的解析法§

18. 平面应力状态分析的解析法 平面(二向)应力状态是工程中常见的应力情况。 解析法目的：通过上述已知量，分析得到单元体上任意截面上的正应力和切应力 。 切应力有两个脚标，第一个脚标表示切应力作用面法线法线，第二个脚标表示切应力方向平行的坐标轴。

20. 正负号的规定 (1)正应力：拉应力为正; (2)切应力 ：对单元体内任一点取矩，顺时针为正。 (3)方位角：x轴到截面外法线n的角度，逆时针为正； 应力单位为MPa。 x = －100 MPa txy= 40 MPa y= 0 MPa a= 30° x = 20 MPa txy= －10 MPa y= －50 MPa a= 60°

21. 斜截面上的应力 (1)截面法：假想地沿斜截面 ef 将单元体截开，留下左边部分的单体元 aef 作为研究对象； 在斜截面上设定正方向的正应力和切应力。

22. (2) 任意斜截面上的应力 列平衡方程：(向nt方向投影计算方便) 整理 得到 任意斜截面正应力、切应力公式 表明：斜截面上的正应力和切应力随a的改变而变化。

23. 最大正应力及方位 令 当截面倾角为0 和 0+90°时，取得最大和最小正应力。 得到主应力的极值max 和 min 此时切应力恰为零！

24. 下面判断0是x与主应力间的夹角。 若x<y 则： 公式中所确定的两个角度a0中，绝对值较小的a0对应min 所在的平面的法线。 若x> y 则： 公式中所确定的两个角度a0中，绝对值较小的a0对应max 所在的平面的法线。 若x=y 则： 0= 45°，主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断。

25. y xy e x f 30° n [例]图示单元体，x=－40MPa， y=60MPa，xy=－50MPa。求： ef截面上的应力情况；主应力大小及方位。 (1) 求ef 截面上的应力

26. (2) 求主应力大小及方位 x= －40MPa，y=60MPa ，xy= －50MPa

27. y xy x 1 3 22.5° x= －40MPa，y=60MPa ，xy= －50MPa 因为 x< y ，所以 0= －22.5° 与min 对应。

28. 最大切应力及方位 令 当截面倾角为1 和 1+90°时，取得最大和最小切应力，正应力不为零。 得到切应力极值 max和min

29. 和 比较 可见 最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°。

30. [例]图示简支梁。已知 mm截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=－70MPa， =50MPa。试确定A点的主应力及主平面的方位。 解：从A点截取单元体，如图

31. 0 3 1 A 3 1 因为 x< y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应

32. 3 45° 1 [例]求图示平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。 解： (1) 求主应力  由已知得：x= y=0，xy = 1 =  ， 2 = 0 ， 3 = －  （2）求主平面方位 因为 x= y，且 xy > 0 所以0= －45°与 max 对应

33. [例]讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。[例]讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。

34. 圆轴扭转时，横截面边缘处切应力最大，其数值为:圆轴扭转时，横截面边缘处切应力最大，其数值为: 在圆轴表层，取单元体

35. n1和n2是截面的法线。因此主单元体应如图所示n1和n2是截面的法线。因此主单元体应如图所示 3个主应力按照代数排序

36. 圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。

37. [课堂练习]用解析法求斜截面ab上的应力，应力单位为MPa。[课堂练习]用解析法求斜截面ab上的应力，应力单位为MPa。

38. [课堂练习]用解析法求主应力大小，主平面位置，最大切应力，应力单位为MPa。[课堂练习]用解析法求主应力大小，主平面位置，最大切应力，应力单位为MPa。

39. §平面应力状态分析的图解法§

40. 平面应力状态分析的图解法 将斜截面应力计算公式移项为 把上面两式等号两边平方，然后相加消去，得 圆心： 半径： 圆周上的每一个点的横纵座标分别代表所研究的单元体某截面的正应力和切应力，故称应力圆，或莫尔圆。

41. 应力圆的绘制 (1)建 － 坐标系，定比例尺 (2) 确定点D(sx，txy) (3) 确定点D'(sy，tyx) tyx= –txy (4) 连接DD'与s轴交于C点 (5) 以C为圆心，CD（CD'）为半径画圆。

42. 圆心: 半径:

43. 应力圆的应用 利用应力圆确定单元体上任一截面上的正应力和切应力 图解法确定应力: 从应力圆的CD 按 的转向转动2得到半径 CE，圆周上 E点的坐标值( ,)就为斜截面上的正应力和切应力。

44. 2 B   B A A  O C 说明： 点面之间的对应关系：单元体中某一面上的应力，必对应于应力圆圆周上某一点的坐标。 夹角关系：应力圆圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍，两者的转向一致。 当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力，  在 －直角坐标系内的轨迹是一个圆。

45. [例]已知图示单元体各面的应力，单位MPa。用图解法求斜面ab上的应力。[例]已知图示单元体各面的应力，单位MPa。用图解法求斜面ab上的应力。

46. 确定比例尺 D点（-100，40） D'点（0，-40） 确定斜面在应力圆上的方位 E点的坐标即为对应斜面ab上的应力。按照比例尺可量得。

47. 图解法确定主应力及主平面 确定主应力数值 点A1 和 B1 切应力为0，横坐标即对应主应力

48. 确定主平面方位 由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从x轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线 即0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定。

49. 利用应力圆求主单元体（主应力大小和主平面方位）利用应力圆求主单元体（主应力大小和主平面方位） 注意根据两倍角关系确定主平面所在的位置。

50. 主应力是按照代数值排序的，而不是按照绝对值排序。主应力是按照代数值排序的，而不是按照绝对值排序。