Funções

1. Funções

2. Iremos estudar: • Função do 1° grau • Função do 2° grau • Exponencial • Logarítmica

3. Função do 1º grau • Definição • Valor numérico • Gráficos • Raiz ou Zero da Função • Função crescente e decrescente • Análise gráfica da função • Ponto de Interseção • Situação problema

4. Funções Polinomiais do 1º Grau (Função Afim)

5. Definição Toda função polinomial da forma f(x) = ax + b, com , é dita função do 1° grau. Ex.: f(x) = 3x – 2; a = 3 e b = - 2 f(x) = - x + ½; a = -1 e b = ½ f(x) = -2x; a = -2 e b = 0

6. Casos Especiais de funções • Função linear b = 0, p.e., f(x) = 3x • Função Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x • Função constante a = 0, p.e., f(x) = 3

7. Valor numérico da função • Dada a função f(x) = -2.x+3 • Calcule a) f(-4) = ? b) f(x) =13 Solução a) Solução b) f(x) = -2.(x)+3 f(-4) = -2(-4)+3 f(-4) = 8+ 3 f(-4) = 11 f(x) = -2.(x)+3 13 = -2(x)+3 13-3 = -2(x) -2x=10 => x =-5

8. Exemplo aplicação V.N 1°) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4)=20.

9. 2°) Dada a função f(x) = ax + b, com a diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(-2) = - 5, calcule f(1/2). • f(3)=5: a.3 + b =5 • f(-2) = - 5: a.(-2) + b = -5

10. Resolvendo o sistema pelo método da adição temos Calculando valor de b por substituição 1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação por (-1) e somar as equações Logo, a função é f(x)= 2x – 1. Assim, f(1/2)=2.(1/2) - 1 f(1/2)= 1 – 1 f(1/2) = 0

11. O valor de “a” na função de primeiro grau é chamado de coeficiente angular ou inclinação da reta. Seu valor é obtido pela expressão. Há uma outra forma de resolver esse tipo de exercício, quando se conhece os valores da função em dois pontos distintos A(x,y) e B(x,y). y1-y2 a= x1-x2

12. Então, Logo, Voltando a questão, quem seria esses valores? Temos que f(3) = 5 => A(3,5 ) e f(-2) = - 5 => B(-2,-5) Substituindo a=2 na expressão da função do 1º grau e utilizando uma das coordenadas A(3,5) temos que: y=ax+b => 5 =(2).(3)+b => 5 = 6 +b 5-6=b = > b=-1 => função y = 2x-1

13. Raiz ou zero da função • É representada pelo ponto em x, onde y =0 ou no gráfico o ponto em x, onde a reta corta o eixo x Graficamente temos: Algebricamente temos: y = x – 2 0 = x-2 x=2 Raiz = 2 Raiz

14. Gráficos Toda gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Estudaremos como essa reta vai se comportar através de cada função.

15. Como fazer um gráfico Para construir um gráfico cartesiano de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y, elaborando uma tabela de valores (x,y)

16. Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x – 2

17. 2° método: • 1° passo: iguale a função a zero. O valor de x que você achar é que passará no eixo do x. • 2° passo: o valor de b (coeficiente linear) é o ponto que toca no eixo do y. x – 2 = 0 x = 2 b = - 2

18. Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença • Numa residência o consumo de água foi de 25 m3 . Utilizando a tabela de tarifas da Sabesp pede-se : O valor desse consumo; o gráfico que representa esse consumo.

19. Construindo a tabela de valores para o consumo de 25 m3 de água Acima de 10 até 20 m3 Até 10 m3

20. Continuação da construção da tabela de consumo Acima de 20 até 25 m3

21. Construindo o gráfico de consumo para cada faixa Faixa até 10 m3 Acima de 10 até 20 m3

22. Continuação da construção de gráficos por faixa de consumo Acima de 20 até 25 m3

23. Gráfico do consumo com as três faixas de consumo , até 25 m3

24. Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença

25. Crescimento de decrescimento de uma função Uma função será crescente quando a>0 Uma função será decrescente quando a<0 Exemplo: f(x) = 2x+1 a = 2crescente f(x) = -3x+2 a = -3 decrescente Função constante não existe variação de valor em y , quando a = o Exemplo y = 3 a=0

26. Análise do gráfico de uma função Função constante Função decrescente Função crescente f2 f1 f3 Raiz ou zero -1 f4 5

27. Gráfico b Gráfico a • Exemplos de gráficos de função crescente(a) e de função decrescente(b)

28. Ponto de Intersecção de funções • É o ponto onde o valor de x e ysão osmesmos para as duas funções. Esse ponto é obtido quando igualamos o valor de y da função1 com o valor de y da função 2.

29. Situação Problema • Uma caixa com 80 litros de água, esvazia 2 litros de água por minuto, em quanto uma outra caixa com 30 litros, enche de água a razão de 3 litros por minuto.Se as duas caixas trabalham ao mesmo tempo,após quanto tempo as caixas terão os mesmos volumes. Qual é esse volume?

30. Graficamente temos Construindo a tabela de valores

31. Representação gráfica do ponto de intersecção

32. Cálculo algébrico do ponto de intersecção • Algebricamente temos v1 = v2 então: • 80-2t = 30+3t => 80-30=3t+2t => 50 = 5t => t = 50/5 => t =10 mim • calculando o volume v1 = 80-2(10) • => v1 = 80-20 • => v1 = 60 m3