第 3 章 扭转

1. 第 3 章扭转

2. 3.1 扭转的概念及实例 机器的传动轴、水轮发电机的主轴、石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等，扭转是其主要变形之一。

3. 3.1 扭转的概念及实例 在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这就是扭转变形。

4. Me A B  O  B’ Me B A O 3.1 扭转的概念及实例 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。 相对扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移。 切（角）应变（）：纵向线倾斜的角度（直角的改变量）。

5. Me1 Me2 Me3 n 从动轮 从动轮 主动轮 3.2 外力偶矩·扭矩及扭矩图 • 3.2.1 传动轴的外力偶矩 一传动轴，转速为n rpm，轴传递的功率由主动轮输入，然后由从动轮输出。若通过某一轮所传递的功率为P kW。 则作用在该轮上的外力偶矩Me为：

6. 3.2 外力偶矩·扭矩及扭矩图 从式中可以看出, 轴所传递的力偶矩与传递的功率成正比, 与轴的转速成反比。因此, 在传递同样的功率时, 低速轴所受的力偶矩比高速轴大。所以在一个传动系统中，低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些。

7. Me Me Me x T 3.2.2 扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。 2 截面法求扭矩 3 扭矩的符号规定： 右手螺旋法则: 右手四指的方向顺着扭矩的旋转方向，大拇指指向横截面外法向时，扭矩为正；反之为负。

8. I I m m T T I I I I m m T T I I

9. ①扭矩变化规律； ②|T|max 值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 目 的 T  x 4 扭矩图 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图形。

10. M1 M3 M4 M2 n B C A D 3.2.2 扭矩及扭矩图 例1：一传动轴如图所示, 其转速n＝300 rpm , 主动轮输入的功率为P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率, 三个从动轮输出的功率分别为P2＝150 kW、P3＝150 kW及P4＝200 kW。试作扭矩图。

11. M2 M1 M4 M3 n B C A D M4 M3 M2 M1 A B D C 解:计算外力偶矩

12. M2 M3 M4 M1 3 2 1 3 2 1 A C B D M2 2 M3 T2 T1 2 B C M2 1 B 1 在BC段内, 取截面1-1,假设T1为正值 计算CA段内任横一截面2-2截面上的扭矩。假设T2为正值。 x 由平衡方程 x 结果为负号, 说明T2是负值扭矩。

13. M3 M2 M1 M4 3 1 2 3 1 2 A B C D M4 3 T3 3 B 在AD段内

14. M3 M2 M1 M4 3 1 2 3 1 2 A B C D 6.37 4.78 9.56 T图(kN·m) 作出扭矩图 从图可见, 最大扭矩发生在CA段内, 其值为9.56 kN·m。

15. M4M3M2 M1 E D C B A 练习: M1=30 kN·m， M2=20 kN·m， M3=15 kN·m， M4=10 kN·m。求各段扭矩及画扭矩图。 解： AB段: BC段:

16. M4M3M2 M1 E D C B A 15kN·m 5kN·m 10kN·m T 图 30kN·m M1=30kN·m, M2=20kN·m， M3=15kN·m， M4=10kN·m CD段: DE段:

17. 薄壁圆筒：壁厚 （r0：为平均半径） 3.3 薄壁圆筒的扭转 3.3.1 薄壁圆筒扭转的切应力 1、实验： ①绘纵向线、圆周线； ②施加一对外力偶 M。

19. Me Me 加载后发现： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度  。 ③所有矩形网格均歪成同样大小的平行四边形。

20. T  结论: ①横截面上无正应力; ②横截面上各点处，只产生垂直于半径方向的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面上的扭矩方向一致。

21. T  3.3.1 薄壁圆筒扭转的切应力 薄壁圆筒横截面上切应力大小： A0：平均半径所作圆的面积。

22. ´ a  b  dy  ´ c d t z dx 3.3.2 切应力互等定理 微小矩形单元体如图所示：

23. ´  a   dy ´ b t c d z dx 3.3.2 切应力互等定理 得： 上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向共同指向或共同背离该交线。

24. l 3.3.3 剪切胡克定律 与  的关系：

25.   l 3.3.3 剪切胡克定律 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。

26. 3.3.3 剪切胡克定律 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80 GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。

27. t' y dz d t' a dy x t t b c dx z • 3.3.4 纯剪切应力状态下的应变能密度 假设单元体左侧固定, 因此变形后右侧将向下移动 dx。 因为变形很小, 所以在变形过程中, 认为上、下两面上的外力将不作功。只有右侧面的外力(dydz)对相应的位移dx上作了功。 g c'

28. t' y dz d t' a dy x t t b c g dx c' z • 当材料在线弹性范围内内工作时, 上述力与位移成正比，因此单元体上外力所作的功为 应变能密度为

29. 由剪切胡克定律 t ＝Gg 代入得 等直圆杆在扭转时积蓄在杆中的应变能可由下式计算

30. 3.4 圆轴扭转时的应力 等直圆轴横截面上的应力 ① 变形几何关系 ② 物理关系 ③ 静力学关系

31. 等直圆杆扭转实验观察： 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度  。

32. 可假设： 1 . 轴向无伸缩； 2. 横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆轴线发生了转动。 可认为：圆轴扭转时可视为无数薄壁圆筒镶套而成。

33. A A’ —— 单位长度扭转角。 1. 变形几何关系：

34. 2. 物理关系： 剪切胡克定律： 代入上式得：

35. dA T  O 极惯性矩 令 3. 静力学关系： 代入物理关系式 得：

36. —横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。 4. 公式说明 ① 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 —该点到圆心的距离。 ② Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义，与截面形状有关。 单位：mm4，m4。

37. d  ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。 对于实心圆截面： D O

38. d D d  对于空心圆截面： O

39. 5 横截面上应力分布特征 t t max max T T （实心截面） （空心截面） 工程上常采用空心圆截面轴，以节约材料。

40. 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 6 最大切应力 由 知：当 Wp — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），单位：mm3或m3。 如果轴各段的扭矩和截面不一样，必须分段来计算最大切应力。

41. 7 强度条件 圆轴扭转时, 杆内各点均处于纯剪切状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作切应力max不超过材料的许用切应力[ ] 。 因此其强度条件为

42. 8 斜截面上的应力 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。

43. 8 斜截面上的应力 列分离体上作用力的平衡方程为 利用t =t '，经整理得

44. ，如图所示。 由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a= 0°和 a= 90°)上切应力的绝对值最大； (2) a=-45°和a=+45°截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；

45. 低碳钢扭转试验开始 低碳钢扭转试验结束

46. 铸铁扭转试验开始 铸铁扭转试验结束

47. MB MA MC C A B 22 kN∙m 14 kN∙m 例3-3 图示阶梯圆轴, AB段的直径d1＝120 mm, BC段的直径d2 = 100 mm, 扭转力偶矩为MA＝22 kN·m, MB＝36 kN·m, MC＝14 kN·m, 已知材料的许用切应力[]= 80MPa, 试校核该轴的强度。 解: 作轴的扭矩图，分别校核两段轴的强度 因此, 该轴满足强度要求。

48. 例3-4 材料和长度相同的两根圆轴，一根为实心，直径为d，另一根为空心，内外径之比为 =0.8，外径为D，求它们受扭时，具有相同强度时的重量比。 强度相同 解: 扭矩相同 所以重量比为:

49. 3.5 圆轴扭转时的变形 • 3.5.1 扭转角的计算 是计算等直圆杆相对扭转角的依据。其中dj代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角。 长为l 的一段杆两端面间的相对扭转角j可按下式计算

50. 3.5 圆轴扭转时的变形 对于同一材料制成的等直圆轴(G、Ip为常量), 当只在两端受一对外力偶作用时(T为常量), 从上式可得 GIp 称作 抗扭刚度。