2.1 导数的概念

1. 2.1 导数的概念

2. （1）了解导数、微分的几何意义；隐函数的求导方法；二阶导数；（1）了解导数、微分的几何意义；隐函数的求导方法；二阶导数； （2）理解导数、微分、极值、最值的概念； 大纲要求 （3）掌握导数的运算法则；复合函数的求导法则；导数的基本公式;洛必达法则； （4）会求未定式的极限;会求函数的极值与最大（小）值；会判断函数的单调性；

3. 微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，而求导数是微分学中的基本运算.在本章中，我们主要讨论导数与微分的概念、它们的计算方法及其应用.微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，而求导数是微分学中的基本运算.在本章中，我们主要讨论导数与微分的概念、它们的计算方法及其应用. 曲线的切线的斜率、运动物体在某时刻的速度，其实质是对应函数中函数相对于自变量的变化率，即导数．以下介绍导数的定义.

4. 一、导数的定义 定义：设 y=f (x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义. 如果当x0时， 的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0处的导数，记作f ' (x0), 即

5. 存在，则称 注1.若 f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别

6. 注2.导数定义还有其他等价形式, 若记x=x0+x, 当x0时, x x0, 特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有

7. 注3.由于 称为 f (x)在x0的右导数. 称为 f (x)在x0的左导数. 定理：f (x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右导数存在且相等.

8. 注4.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f (x)在(a, b)内可导.称为y = f (x)的导函数. 　　此时，x(a, b)都有唯一确定的值f '(x)与之对应，所以导数是x的函数.

9. 按定义， f ' (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式. 而f '(x0)就是f '(x)在x= x0处的函数值，即 另外，求

10. 二、求导举例 用定义求导数一般可分三步进行. 设y = f (x)在点x处可导 (1) 求y=f (x+x) f (x) (2) 求比值 (3) 求极限

11. 例1.求 y = C (常数)的导数. 解：(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0 (2) (3) 故(C )' = 0, 即常数的导数为0.

12. (2) (3) 例2.设 y = f (x) = x2，求f '(x). 解：(1) y = f (x+x) f (x) = (x+x)2  x2

13. 　　 函数y=f (x)在x0处的导数 f '(x0)就是曲线y = f (x)在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f '(x0). 一般, 若f '(x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处切线方程为 法线方程为 三、导数的几何意义

14. 特别，(i)当f '(x0)=0时，即k = 0. 从而切线平行于 x轴. 因此，法线垂直于x轴. 如图 y=f (x) y 切线方程：y = f (x0). M 法线方程：x = x0. f (x0) x x0 0

15. (2) 当f '(x0)=(不存在). 即k = tg =. 故 从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴. 切线方程： x = x0. 法线方程： y = f (x0).

16. 如图, 单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1. 法线方程: y = 0. y x 1 –1 0

17. 例3.求曲线y= 在 处的切线方程. 解：把代入 ，得到y0 =4. 又因为f ‘(x0)= 2x0=4,故直接用公式 y  f (x0) = f ’(x0)(x  x0)即可得到：.

18. 作业与思考复习思考题 P49 4 作业题 P49:3, 5 (1)(2)(4) (6)(7)(10).