如何指導學生進行主題研究 數學科 國立台南師範學院數學教育系 謝 堅

1. 如何指導學生進行主題研究 • 數學科 • 國立台南師範學院數學教育系 • 謝 堅

2. 問題釐清: • 如何經營班級數學科的科展製作或數學科的主題研究〜所有的活動都是學生自己完成的，教師的角色是協調或提供諮詢。 • 如何在台南市科學展覽比賽中得到好的名次〜科展活動的主角是老師，學生只負責跑龍套。

3. 作品選拔的流程: • 透過競賽選出代表參加 • 班級競賽  年級或全校競賽 •  縣市競賽 •  全國競賽 • 直接挑選成積優異或教師信任的學童參加縣市競賽

4. 班級競賽時，提供全班或同年級學童觀模與學習。班級競賽時，提供全班或同年級學童觀模與學習。 • 年級或全校競賽時，提供全校學童觀模與學習。 • 縣市競賽時，提供本縣市學童觀模與學習。 • 全國競賽前三名作品，辦理各縣市的巡迴展，讓有興趣的學童與教師觀模與學習。

5. 班級數學科的 科展製作或主題研究 • 教師佈題教師解題 • 教師佈題學童解題發表與討論 • 學童佈題學童解題發表與討論 • 完成主題選定以及找好研究伙伴， 才能開始進行研究活動。

6. 如何進行班級數學科的 科展製作或主題研究 • (一) • 協助學童成立研究小組，並找到各組學童能力所能勝任的研究主題。 • 如何找出研究的主題? • 如何分組?

7. (二) • 指導各小組依據自己擬定的主題，開始探討研究的活動。其中包括 學童個別思考，小組的分組討論，擬定計劃與修正計劃等，要求各組隨時將研究成果記錄下來，並整理出初步的書面報告。 • 教師應把握下列原則:

8. 儘量讓學童獲得獨立工作的機會 • 讓學童有充份的數學思考時間，教師應培養耐心等待的信念。 • 仔細的聽取各組的發現，適時給予最大的肯定和讚美。 • 鼓勵，但是不要強迫。教師應體諒學童初次做研究可能發生的困境，不宜要求學童一定要有完整的或有價值的研就成果。

9. (三) • 舉辦班級數學科科學展覽或主題研究發表會。舉辦發表會的意義是透過 學童書寫書面報告(最好能將書面報告的重點摘要成投影片)，以及發表會上學童的自評與互評､老師的評鑑，幫助學童自我反省。 進行有意義的討論以及自我反省，是學好數學的最佳方法。

10. (四) • 修正初步的書面報告，寫成正式的數學科展作品說明書，或正式的主題研究報告。 • 儘量要求學童使用正式的格式，撰寫最後發表的書面報告。

11. (五) • 教師進行班級數學科展或主題研究學習的評量，鼓勵表現優異的小組，參加全校或同年級的競賽，或縣市的競賽。

12. 經常被問到的數學科展問題 • 數學科展的研究主題如何誕生? • 數學科展的報告如何撰寫? • 如何模仿評審提出問題? 如何幫助學童回答這些問題? • 如何經營班級數學科展製做活動?

13. 數學科展研究主題類型分析 • 課外讀物。 • 歷屆科展作品的延伸。 • 課堂活動的延伸。 • 探討有規則現象的問題或偶然中發現的問題。

14. 課外讀物 • 各類數學相關叢書中的問題。 • 各類數學相關叢書中問題的延伸。 • 改良各類數學相關叢書中的問題。 • 報章雜誌中所介紹的數學問題。

15. 粘的問題。 • 十二枚金幣的奧密。 • 畢氏定理的新證明。 • 蒙地卡羅法求機率。 • 一筆畫問題。 • 魔方陣的問題。

16. 歷屆科展作品的延伸 • 例屆科展中列出待解決的問題。 • 改良歷屆科展作品的研究問題。 • 歷屆科展作品研究問題的延伸。 • 改良或延伸班級數學科科學展覽或主題研究的作品。

17. 將十二枚金幣的奧密，延伸為十六枚金幣的奧密。將十二枚金幣的奧密，延伸為十六枚金幣的奧密。 • 將加法關係的魔方陣，延伸為乘法關係的魔方陣。 • 將平面井字遊戲必勝的規則，延伸為空間正方體的遊戲。

18. 課堂活動的延伸 • 數學課堂所討論問題的延伸。 • 改良或重組課堂中討論的問題。 • 提出課堂問題的新解法。

19. 討論求凸多邊形的內角和公式，外角和公式，對角線個數公式，在凹多邊形時是否成立。討論求凸多邊形的內角和公式，外角和公式，對角線個數公式，在凹多邊形時是否成立。 • 三角形最多有一個鈍角，最多有三個銳角，n邊形最多有幾個鈍角，最多有幾個銳角。 • 為什麼可以透過顛倒相乘的方式，求出分數除以分數問題的答案。

20. 透過除法問題的語意，記錄格式，被除數，除數及商數的範圍，討論分數(小數)除法問題所有可能的題型，那些題型是有意義的，以及解決這些題型可能的解題策略。透過除法問題的語意，記錄格式，被除數，除數及商數的範圍，討論分數(小數)除法問題所有可能的題型，那些題型是有意義的，以及解決這些題型可能的解題策略。 • 乘數是整數與乘數是分數的乘法問題，它們的解法的意義與題意都不相同，為什麼數學上使用相同的乘法算式來記錄。

21. 探討有規則現象或偶然中發現的問題 • 探討日常生活中某些規則存在產生的數學原因以及公式。 • 考卷或數學課本中出現不合理問題的探討。 • 如何在數學遊戲中獲得勝利。

22. 64年版數學課本､參考書或高中聯考的試題中，都存在數據有問題的題目。64年版數學課本､參考書或高中聯考的試題中，都存在數據有問題的題目。 • 三角形三邊長分別是3､3､2.7公分，3所對應的高是2.4公分。 透過測量可以發現圖形不存在。 透過畢氏定理可以證明圖形不存在。

23. ( ) ÷ 1.04 = 1.7…….0.12 • ( ) = ? • 1.04 ×1.7 + 0.12 = 1.888 • 答: ( ) = 1.888

24. 1.7 1.8 • 1.04 ) 1.888 1.04 )1.888 • 1 041 04 • 848 848 • 728 832 • 0.12 0.016 • 那一個答案是合理的? • 為什麼驗算的答案不成立?

25. 1.42 • 7 )10 10 ÷ 7 = 1 …. 3 • 7 • 30 10 ÷ 7 = 1.4 …. 0.2 • 28 • 20 10 ÷ 7 = 1.42 ….0.063 • 14 • 6 • 商數的位數 vs除數與餘數的關係

26. 如何找出數列 1,1,2,3,5,8,13….的一般項。 • 64年課程中如何解題題目的延伸。 • ||| |||||| |||||||||每次可以自任意一堆中拿走任意數量的棍子，誰拿最後一根誰就輸，如何讓自己成為長勝將軍。

27. 數學科科學展覽作品製作的步驟 • 發現事實 多閱讀，多蒐集相關資訊。 • 發現問題 思考可供研究的問題，把問題縮 小到主要的問題，並讓研究的變因儘量的少。

28. 尋求主意 • 不斷的探索，討論與修正，儘可能的列出許多主意，用擴散性思考來尋求主意。 • 掌握解題的規律 • 用聚斂性思考的過程來尋求解題的通則。

29. 撰寫研究報告 • 歸納整理，分析資料，整合所有的研究活動。 • 尋求支援 • 針對所提出的解題方法，徵求所有聽眾的意見，並加以修正，進而納入多數人的意見，再做進一步的探討。

30. 能運用解題的各種方法: • 分類 歸納 演繹 推理 推論 類比 分析 變形 一般化 特殊化 模型化 系統化 監控

31. 能熟悉解題的各種歷程: • 蒐集 觀察 臆測 檢驗 再臆測 再檢驗 推理 驗證 論證

32. 參考G波利亞對解題的四階段分類 • 瞭解問題 • 擬定計劃 • 實行計劃 • 回顧解答

33. 數學科展覽研究報告的撰寫方式 • 研究動機 研究的問題 文獻探討 分析 解法 推廣 猜測 進一步想研究的問題

34. (一) 研究動機 • 為什麼想研究這樣的問題 • 對課本的公式或解法產生懷疑或有更好的解決方法，或課本上某些問題的延伸激起了你研究的興趣。 • 報章雜誌上某些挑戰性的問題，或為了在數學遊戲中獲勝，引起了你研究的興趣。

35. (二)研究的問題 • 呈現你想要解決的問題是什麼。 • 研究的問題不宜涉及太多的變因，才能對問題進行深入的研究。 • 能吸引別人注意，或讓別人震憾的題目，都是好的研究問題。

36. (三)文獻探討 • 對於你想研究的問題，過去是否有人做過類似的研究，他們是怎麼想的，務必忠實的呈現。 • 可以引用前人的研究發現，應用於你的研究中，但是必須寫明出處，包括書名，頁次，作者等。 • 確實看過的參考資料才可以引用。

37. (四)分析 • 針對研究的問題，仔細的描述你的想法。 • 你的思考方式，你是怎麼想的。 • 用你的想法，如何解決你想要研究的問題。 • 分析的能力或完整性也很重要。

38. (五)解法: • 詳細的寫明你解決所要研究問題的過程與答案。 必須養成隨時將相關的研究活動過程記錄下來，與隨時整理分析手邊資料的習慣。 • 你的解法必須是合理的。

39. (六)推廣 • 將你的想法向內部推演與向外部推廣的應用情形，詳細的記錄下來。 • 數學是一門實用的基礎科學，數學知識是為了解決日常生活的問題，或為了學習更高深的數學知識舖路，沒有實用價值的數學知識是沒有意義的。

40. (七)猜測 • 額外的經驗，使你感覺到某些推論可能是正確的，但是現在尚無法證明它是正確的，這就是猜測。 • 在研究的過程中，有那些猜測，應該記錄下來(如果發現猜測是錯誤的，可以考慮是否將猜測的理由及發現錯誤的過程加以說明)。

41. (八)進一步想研究的問題 • 在研究本問題時，可能發現一些值得深入研究或無法克服的問題，可以把它記錄下來，做為下一次研究的目標，或讓一些有心人，針對你提出的問題，繼續去思考研究

42. 如何找規則 • 首項與各項之間的關係，例如等差或等比數列，只要知道第一項，以及各項之間的關係—公差，就能知道任意項是什麼。

43. 以找出河內塔的規則為例 • 第一步:先找出各項之間的關係。 • a1=1 • a2=2 ×a1 + 1 • a3=2 ×a2 + 1 • a4=2 ×a3 + 1

44. 第二步:寫出遞迴關係式，並透過關係式找出一般項的規則。第二步:寫出遞迴關係式，並透過關係式找出一般項的規則。 • a1=1 • an=2 ×a(n-1) + 1 • 推得一般項 an=2(n次方）- 1

45. 第三步:證明你找出的一般項規則是正確的(例如透過數學規納法)。第三步:證明你找出的一般項規則是正確的(例如透過數學規納法)。 • 證明一般項 an=2(n次方）- 1　　恒成立 • 國小階段可以透過經驗法則說明一般項成立，高中階段必須證明一般項成立(例如透過數學規納法)。

46. 如何找關係? • 儘可能的列出所有的可能: • 6樣不同的禮物，任意分給4個人，其中甲至少得到一件禮物，請問有幾種分法? • 做法1: 4(6次方) - 3(6次方) • 做法2: 6 × 4(5次方) • 那一種算法是合理的，為什麼?

47. 一些數學科展或數學主題研究的例子