מפות קרנו ולוגיקה צירופית יהודה אפק, נתן אינטרטור אוניברסיטת תל אביב

1. מפות קרנו ולוגיקה צירופיתיהודה אפק, נתן אינטרטור אוניברסיטת תל אביב מבוסס על הרצאות שליורם זינגר, האוניברסיטה העברית י"ם

2. פישוט פונקציות ע"י מפות קרנו: y • E. Veitch, 1952 ; M. Karnaugh 1953 • טבלה של שני משתנים: y x x y ייצוג ערכים: y x f = m1+m2+m3 y f = x+y x x z • טבלה של שלושה משתנים: yz x x y ** כל שני ריבועים סמוכים במפה נבדלים במשתנה אחד בלבד. m2 + m6 x’yz’ + xyz’  yz’

3. y 1. z’ f=z’ + xy 2. xy x z f = x’y’z’ + xy’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’ כדי לפשט את הפונקציה נחפש ריבועים "מוכללים" גדולים שיכסו את ה"1" פונקציה "פשוטה" ריבועים גדולים

4. דוגמא נוספת: f = x’y’ + xz + xy 0 1 3 2 x(y + z) לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו. 4 5 7 6 f = x’y’ + y’z + xy y’(x’+z) לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו. • הפישוט המינימלי לא תמיד יחיד f(x,y,z) = (0,1,5,6,7) y x z

5. מפה של ארבעה משתנים: y yz wx f=x’z’ + w’z’ x w z מפה של חמישה משתנים: C AB CDE B A E D E f = AC’ + AD’E’ + CDE’ + B’D’E’

6. מפה של חמישה משתנים:מושג השכנות f = A’BDE + ABD’E C AB CDE B D E

7. איברים / צירופים אדישים: y yz wx x w z “Don’t Care” ניתן להשים ל"1" או "0“ (לאו דווקא בעקביות) f = z’w + zx סכום מכפלות

8. דוגמאות:

9. דוגמאות:

10. כל פונקציה בוליאנית ניתנת לכתיבה כסכום מכפלות: צורות קנוניות: x’y’z’+x’yz’+x’yz+xy’z’+xyz’+xyz (x+y+z’) (x’+y+z’) ומכפלת סכומים: • מכפלות סכומים • בהינתן טבלת אמת של פונקציה f: • נרשום את f כמכפלת סכומים ע"י לקיחת Mi עבורם f=0. • או: • 2) נרשום את f כסכום מכפלות ע"י לקיחת mi עבורם f=1. minterm (x+y+z’) (x’+y+z’) x’y’z’+x’yz’+…

11. Product of sum design

12. Product of sum design

13. איברים / צירופים אדישים: y yz wx x w z “Don’t Care” ניתן להשים ל"1" או "0“ (לאו דווקא בעקביות) f = z’w + zx סכום מכפלות

14. לוגיקה צרופית Combinatorial Logic מעגל צירופי לוגי n משתני כניסה m משתני יציאה • נוהל תכנון:Design Principles • תאור הבעיה. • קביעת מספר משתני הכניסה הקיימים ומספר משתני היציאה הנדרשים. • התאמת סמלים למשתני הכניסה והיציאה. • בניית טבלת אמת המגדירה את היחסים הנדרשים בין הכניסות ליציאות. • פישוט הפונקציה הבוליאנית עבור כל יציאה. • "קיבוץ" ופישוט של הפונקציה הכוללת. • תיאור וכתיבת הדיאגרמה הלוגית.

15. BCD => Seven -Segment - Decoder a Seven Segment f b g c e d קלט:מספר בן 4 ביטים ב –BCD פלט:7 פונקציות בוליאניות כך שכל פונקציה הינה "1" אמ"מ ה- Segmentהמתאים צריך לדלוק. • נבנה את טבלת האמת. • נחשב את a…g ע"י מפות קרנו. • נצמצמם את המעגלים ע"י חיפוש שערים חוזרים.

16. a = B’D’ + C + A + BD a =(B’+D+C) (A+B+C+D’) טבלת אמת :BCD  7 Seg D a 00 f b g (A,B,C,D)=>a c 01 e d B 11 A 10 AB CD C

17. D 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 0 0 1 B 11     A 10 1 0   AB CD C e = D’B’ + CD’ = D’(B’+C) e = (B’+C)D’ a f b g c e d (A,B,C,D) =>e

18. חצי מחבר – Half Adder a0 b0 HA C S A S S B C חצי מחבר: מקבל 2 סיביות ומחזיר את סכומן (mod 2)ואת הנשא. S = X Y (a  b) C = X •Y (a • b) (a’b’ + c)’= =(a’b’)’•(a•b)’ =(a+b)•(a’+b’) =aa’ + ab’ + ba’ +bb’ (a+b)’=a’b’ a S b C (ab)’ ab

19. an bn FA Cn Cn-1 Sn מחבר מלא – Full Adder הפונקציות s,cסימטריות ב x,y,z "תפקידי" x,y,zהינם זהים S = x’y’z + x’yz’ + xy’z’ + xyz C = xy + yz + xz Y Y X X S C Z Z

20. Ripple Carry Adder

21. 4-Bit Adder

22. 0 1 מחבר / מחסר

23. בדיקת גלישה – מימוש: a3 b3 a2 b2 a1 b1 a0 b0 C3 C2 C1 C0 Adder Adder Adder Adder "0" נשא סופי נשא לתוך סיביות הסימן S3 S2 S1 S0 מספר בין n=4 ביטים Overflow:Cn-1 Cn-2 = 1 בדוגמא (5+7): 1 = C3 C2 • אם ו - חיוביים לא צריך להיות נשא לתוך המסכם האחרון ולא יכול להיות נשא סופי. • אם ו - שליליים חייב להיות נשא סופי וכדי שהמספר יהיה שלילי צריך נשא לתוך המסכם האחרון.

24. Full Adder with Overflow check 1

25. 1 משווה גודל - Comparator “1” A<0 B0 A>B : אין overflow A<0,B>=0 A-B>0 0=MSB ו A<>B יש overflowMSB=1A>=0,B<0 B>A : אין overflowA-B<0 MSB=1 יש overflowMSB=0 c4 XOR c3 :Overflow No Overflow “1” A0 B<0

26. Decoders • Multiplexor • Connects one of many inputs to one output. • n select lines for 2n inputs.

27. Decoders: Multiplexer

28. 4:1 Multiplexer

29. Multiplexer: Binary function