Решение задач графическим методом

1. Графический и симплексный методы решения задач линейного программирования.по дисциплине «Методы оптимизации» Докладчики: Трембичев Ю. И.Нигматулин А. Н.

2. Решение задач графическим методом Докладчик: Нигматулин А. Н.

3. Основная цель экономики – это рациональное функционирование хозяйствующих субъектов, т. е. оптимальная деятельность при ограниченных ресурсах. Одним из основных научных направлений в этой области является линейное программирование, методы которого активно используются в планировании и организации производственных процессов, а также в финансовой сфере. Линейное программирование – это область математического программирования, являющегося разделом математики, в котором изучаются методы исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений некоторой линейной функции, на аргументы которой наложены линейные ограничения. Такая линейная функция называется целевой, а набор количественных ограничений между переменными, записанные в виде уравнений или неравенств, называется системой ограничений. Слово “программирование” введено в связи с тем, что неизвестные переменные, которые находятся в процессе решения задачи, обычно определяют программу, или план работы некоторого экономического субъекта. Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на её аргументы , называется математической моделью экономической задачи оптимизации.

4. Для составления математической модели необходимо выполнить следующие этапы: 1) Обозначить переменные; 2) Составить целевую функцию в соответствии с целью задачи; 3) Записать систему ограничений с учетом имеющихся в условии задачи показателей. Если все ограничения задачи заданы уравнениями, а переменные Xj неотрицательные, то модель такого вида называется канонической . Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель называется неканонической . Целью данной работы является разработка доступного курса для школы, обучающего прикладным аспектам математики, математическому моделированию экономических задач, а также эффективным методам их решения. Разобраны примеры применения графического метода решения задач линейного программирования, а также аналитического метода (симплексный метод) их решения. Дана методика обучения этих методов и приложение полученных знаний к решению сложных конкурсных задач. Изучение этих вопросов повысит эффективность усвоения программных тем: графическое изображение областей, заданных неравенствами, решение линейных систем с многими переменными, вычислительные навыки, умение составлять математические модели экономических задач. Данная работа является частью проекта …… математические методы решения задач экономики, который разрабатывается в нашей школе.

5. Глава № 1 Математическое моделирование. Рассмотрим задачу: №1 Процесс изготовления двух видов изделий заводом требует, во-первых, Последовательной обработки на токарных и фрезерных станках, и, во-вторых, затрат двух видов сырья: стали и цветных металлов. Данные о потребности каждого ресурса на единицы изделия и общие запасы ресурсов помещены в таблице:

7. Прибыль от реализации единицы изделия А – 3 тыс. руб. , единицы изделия В – 8 тыс. руб.. Определить такой план выпуска продукции, который обеспечивает максимальную прибыль при условии, что время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью. Построим математическую модель задачи. Пусть Х – число изделий вида А, Y – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10х + 70у) кг стали и (20х + 50у) цветных металлов. Т. к. запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов 420 кг , то Время обработки всех изделий на токарных станках равно (300х + 400у) станкочасов. Из условия задачи следует , что 300х + 400у ≤ 6200 Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем : 200х + 100у = 3400 Итак получим систему ограничений:

8. Общая прибыль выражена следующей функцией: F = 3х + 8у - это целевая функция. Модель неканоническая. Задача № 2 Важный тип задач линейного программирования представляет задача о перевозках. Называется она так потому , что цель этой задачи заключается в минимизации полной стоимости перевозок известного количества товаров, который готовы принять в пунктах назначения. Компания имеет два товарных склада и трех оптовых покупателей. Известно, что общий объем запасов на складах составляет 300 тыс. единиц продукции и совпадает с общим объемом заказов покупателей. Конкретные данные о загруженности каждого из складов ( в тыс. ед.), потребности каждого покупателя ( в тыс. ед.) и стоимости перевозки (млн. руб. за 1 тыс.ед. ) приведены в таблице:

9. Стоимость перевозок к потребителям (млн. руб. за 1 тыс. ед.) Наличие ( тыс. ед. ) В1 В2 В3 Склады А1 X11 8 X12 5 X13 6 120 А2 X21 4 X22 9 X23 7 180 Запрос ( тыс. ед.) 70 140 90 300

10. Обозначим через Хik количество товара, поставляемого со склада Аi покупателю Вk . Математическая модель задачи. 1) Целевая функция : F = 8X11 + 5X12 + 6X13 + 4X21 + 9X22 + 7X23 2) Система линейных ограничений: Получаем задачу линейного программирования, в которой основные ограничения вследствие того , что транспортная задача сбалансирована, являются равенствами.

11. Далее рассмотрим задачу № 3 . Задача составления производственного плана. Фирма выпускает 2 вида мороженного: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители , расходы которых на 1 кг мороженного и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице. 44 Исходный Продукт Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого Запас, кг Сливочное Шоколадное Молоко 0.8 0.5 400 Наполнители 0.4 0.8 365

12. Изучение рынка сбыта показало , что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., а шоколадного – 14 ден.ед. Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма , чтобы доход от реализации продукции был максимальным. Решение. Обозначим: x1 – суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг; x2 – суточный объем выпуска шоколадного мороженого, кг Составим математическую модель задачи. 1) Целевая функция : F(x) = 16x1 + 14x2 – > max 2) Система линейных ограничений:

13. Укажем область допустимых (неотрицательных ) решений; на рисунке показаны ограничивающие линии, соответствующие равенствам в соотношениях; стрелки указывают области , которые они ограничивают. OABDEF – область допустимых решений. Строим вектор С (16,14).

14. Линия уровня определяется уравнением: 16х1 + 14х2 = const. Перемещаем линию уровня по направлению вектора С . Точкой выхода линии уровня из области допустимых решений является точка D, её координаты определяются как пересечение прямых, заданных ограничениями. D (312,5 ; 300 ) F(x)max = 16 * 312,5 + 14 * 300 = 9200 ден. ед. Максимальный доход от реализации составит 9200 ден. ед. в сутки при выпуске 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженного. Задача №4 В швейном цехе имеются 84 метра ткани. На пошив одного халата требуется 4 метра ткани, а на одну куртку 3 метра. Сколько надо изготовить халатов и курток, чтобы прибыль от продажи была max. Если халат стоит 6 рублей , а куртка – 3 рубля. Известно , что халатов можно сшить не более 15 , а курток не более 20. Решение. Обозначим за х1- кол-во халатов, а х2- курток. Система линейных ограничений:

15. Целевая функция: Fmax=3x2+6x1 B(8;15)

16. Fmax=3*8+6*15=114 => 15 – халатов, 8 – курток. Задача №5 На покупку тетрадей в клетку и тетрадей в линейку можно затратить не более 1руб. 40 коп. Тетрадь в клетку стоит 3 копейки, а тетрадь в линейку – 2 копейки. При закупке число тетрадей в клетку не должно превышать числа тетрадей в линейку более чем на 9. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество тетрадей, причем из всех вариантов, дающих максимально возможное количество , надо найти такой, при котором число тетрадей в линейку минимально. Сколько тетрадей в линейку и сколько тетрадей в клетку можно закупить? Решение. Х1- кол-во тетрадей в клетку, х2- кол-во тетрадей в линейку. Система линейных ограничений: Целевая функция: Fmax= х1+х2 , Х2-min

17. B(24,15) Fmax=39 => X2=15; X1= 24.

18. Решение задач симплексным методом Докладчик: Трембичев Ю. И. (Juron)

19. Введение: Определение: Алгоритм решения задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. История создания: Симплексный метод был разработан известным американским математиком Дж. Данцигом и в настоящее время стал универсальным методом программирования.

20. Метод последовательного исключения переменных при решении системы линейных уравнений • Пример 1 1) 2) Решение системы : (9; 2)

21. Пример 2 Уравнение не имеет решений

22. Пример 3 Ответ: (3; 5; 7).

23. 3) • Пример 4 4) 1) 5) 2) где х3 — любое действительное число.

24. Базисные решения Придадим свободным переменным нулевые значения и найдем из системы соответствующие значения базисных переменных: Получим базисное решение: (d'1, d'2, ..., d'r, 0,..., 0)

25. Метод полного исключения переменных • Пример 5 Решение: (1; —3; 2).

26. Правило прямоугольника

27. 1. Система имеет единственное решение. • Пример 6 3) 1) 4) 2) Из последней таблицы следует, что x1 = 1, x2 = – 3, x3 = 2.

28. 2. Система имеет бесконечно много решений. • Пример 7 (–8/11 – 1/11x3,10/11+ 4/11x3, x3) — общее решение системы. Базисное решение, соответствующее базису (x1, х2): (–8/11; 10/11; 0).

29. Неотрицательные базисные решения систем линейных уравнений 1) за разрешающий столбец примем такой столбец, в котором имеется хотя бы один положительный элемент; 2) пусть в разрешающем столбце несколько положительных элементов. Найдем отношения соответствующих свободных членов к этим элементам и за разрешающий элемент возьмем тот из них, для которого это отношение наименьшее (если в столбце один положительный элемент, то он и будет разрешающим). Затем осуществим пересчет элементов таблицы. Такое преобразование носит название симплексного.

30. Аналитическое введение в симплексный метод 1) При решении задачи симплексным методом необходимо систему уравнений привести к виду, когда какие-либо r переменных (базисные) выражены через остальные (небазисные), причем свободные члены этих выражений должны быть неотрицательными. Целевая функция F (x1, ..., хn)также выражается через небазисные переменные: 2) Следующим шагом алгоритма является проверка достиже­ния оптимума. Если оптимум не достигнут, то из базиса Б удаляется одна из переменных в небазисные, а вместо нее из числапрежних небазисных переменных вводится новая. Получаем новый базис Б'.

31. Алгоритм симплексного метода • I. Приводим систему ограничений к виду: • II. Выражаем целевую функцию F через небазисные' переменные xr+1, хr+2,..., хn:

32. III. Пусть среди чисел — имеются отрицательные. Берем любое из них (например, коэффициент при xj, равный - ). Просматриваем столбец из коэффициентов при xj в правых частях уравнений системы ограничений (I). Если все числа этого столбца неотрицательны, то Fmin равна бесконечности.Задача решений не имеет. • IV. Пусть в столбце коэффициентов при хj имеются отрицатель­ные числа. Для каждого из таких чисел —aij(коэффициенты при xjв выражении для базисной переменной хk) находим отношение — bk/ аij(bk—свободный член в выражении для xk). Выбираем среди этих отношений наименьшее, допустим, что оно соответствует значению k = i. Элемент аijназывается разрешающим. • V. Переходим к новому базису, исключая из старого базиса xiи вводя в него xj. Для' этого уравнение, содержащее xi, разрешаем относительно xj(пользуясь тем, что aij не равно 0) и полученное таким путем выражение для xj подставляем во все остальные уравнения системы ограничений. Далее опять переходим к шагу II.

33. Задача № 1. Максимальная площадь, которая согласно перспективному плану может быть отведена под плодовые деревья, составляет 1000 га. На этой площади предполагается посадить три вида деревьев: семечковые, косточковые, ягодники. Обозначим их соответственно через Р1, Р2, Р3. В хозяйстве имеются следующие три вида ограниченных ресурсов: пашня (S1), трудовые ресурсы (S2), денежно-материальные (S3). Запасы указанных ресурсов таковы: b1, b2, b3. Известно, что на 1 га j-го вида посадок (j = 1, 2, 3) затрачивается aij единиц i ресурсов (i =1, 2, 3). Цена продукции с 1 га j-ой культуры составляет cijрублей.

34. Требуется определить такие площади посадок каждого вида, чтобы обеспечить общий максимум продукции в стоимостном выражении.

35. Решение: Составим математическую модель: Введём дополнительные неотрицательные переменные x4, x5, x6. Система ограничений принимает вид: Нахождение максимального значения F = Зx1+2x2+5x3 заменим нахождениемминимального значения функции:

36. Оптимальный план: x1 = 0; x2 = 1/3; x3 = 2/3, Fmax = 4. В целях максимизации производства в стоимостном выражении продукции, получаемой от многолетних посадок, следует отвести под косточковые 1/3тыс.га, а ягодники — 2/3тыс. га. Тогда суммарная стоимость производимой продукции достигает своего максимального значения Fmax = 4000руб.

37. Задача № 2. Задача составления производственного плана. Фирма выпускает 2 вида мороженного: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители , расходы которых на 1 кг мороженного и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице. Изучение рынка сбыта показало , что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., а шоколадного – 14 ден. ед.

38. 44 Исходный Продукт Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого Запас, кг Сливочное Шоколадное Молоко 0.8 0.5 400 Наполнители 0.4 0.8 365 Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма , чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

39. Решение:

40. Оптимальный план: x1 = 312,5; x2 = 300, F(x)max = 16 * 312,5 + 14 * 300 = 9200 ден. ед. Максимальный доход от реализации составит 9200 ден. ед. в сутки при выпуске 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженного.

41. Заключение Был рассмотрен симплексный и графический методы решения уравнения и итоговые ответы совпадают.

42. Спасибо за внимание!