第二十二章 一元二次方程复习 （一）

1. 第二十二章 一元二次方程复习 （一）

2. 定义 一元二次方程 解法 应用

3. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的 方程叫做一元二次方程 ①都是整式方程; 特点: ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.

4. 一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠0) 常数项 二次项系数 一次项系数

5. 练习二 1、判断下面哪些方程是一元二次方程 × √ × × × √

6. 2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________, 其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____. 3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则 （ ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2 2x2-3x-1=0 2 -3 -1 C

7. a2-4=0 解:(1) a+2≠0 4、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0 (1)当a取什么值时,它是一元一次方程? (2)当a取什么值时,它是一元二次方程? (2) a2-4≠0 ∴a≠±2 ∴a=2 ∴当a≠±2时，原方程是一元二次方程 ∴当a=2时，原方程是一元一次方程

8. 说一说 你学过一元二次方程的哪些解法? 因式分解法 配方法 开平方法 公式法

9. 例:解下列方程 • １、用直接开平方法：(x+2)2=９ • 2、用配方法解方程：4x2-8x-5=0 3、用公式法解方程: 3x2=4x+7 4、用分解因式法解方程： （y+2)2=3(y+2）

10. 说一说 你学过一元二次方程的哪些解法? 因式分解法 配方法 开平方法 公式法

11. 直接开平方法 公式法 因式分解法 配方法 提取公 因式法 平方差 公式 完全平 方公式 …… 一元二次方程的 基本解法 你能说出每一种解法的特点吗?

12. 因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;

13. 开平方法 方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 即形如x2=a(a≥0)

14. 配方法 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.

15. 公式法 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.

16. 练习 选用适当方法解下列一元二次方程 直接开平方 • 1、 (2x+1)2=64 ( 法） • 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 法） • 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 法） • 4、 x２-４x-10=０ ( 法） • 5、 ３x２-４x-５=０( 法） • 6、 x２＋６x-1=0 ( 法） • 7、 ３x２ -８x-３=０ ( 法） • 8、 y2- y-1=0( 法） 因式分解 因式分解 公式 公式 公式 因式分解 公式 选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 →公式法→配方法

17. 思考 中考直击 1. (2005福州中考) 解方程: (x+1)(x+2)=6 2. (2005北京中考) 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。 3.解下列方程（1）x2=0 (2)x(x-6)=-2(x-6) 4. (2004武汉中考) 试证明关于x的方程 (a2-a+2)x2+ax+2=0无论a取何值,该方程都是一元二次方程.

18. 5、已知：x2+3xy-4y2=0(y≠0), 求 的值.

19. 甲同学是这样做的，你看对吗？ 方程两边同除以4，得x2= 直接开平方得x=± 所以原方程的解是x1= ，x2= 6、4x2=x

20. 乙同学是这样做的，也请你“诊断”一下： 将方法两边同除以x,得4x=1 即得方程的解为x=

21. 练习：选用适当方法解下列方程：

22. （1）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法来解（形如 的方程）。 小结：通过对本例的分析及解题过程，可以得到： （2）在解方程时，应注意方程的特点，合理选择简捷的方法。 （3）解一元二次方程常用因式分解法。 （4）当因式分解有困难时，就用公式法。配方法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它的二次项系数为1，一次项系数是偶数，用配方法更好）

23. 7. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零. 8. 关于x的方程2x2-(m+4)x+m+4=0有两个实数根.求m的取值范围. 9.你会解方程：x2-2|x|-1=0吗？ 10.已知x2-7xy+12y2=0,求证： X=3y或=4y

24. 一元二次方程的根与系数： 根的判别式：b2-4ac

25. 练习： • 1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是；当k时，方程有实根。 • 2、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=。 • 3、关于x的方程x2-(2k-1)x+(k-3)=0.试说明无论k为任何实数,总有两个不相等的实数根. • 4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－2=0的根的判别式的值等于4，则m=。

26. 一元二次方程的根与系数： 韦达定理： 一元二次方程的根与系数的关系： 若 ax2+bx+c=0的两根为 x1、x2，则 x1+x2=_______；x1x2=___； 以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程为_________________. x2-(x1+x2)x+x1x2=0 已知两数的和是4,积是1，则此两数为.

27. 拓展练习： • １、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。 • 2、 已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=. • 3、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。 • 4、关于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。

29. 为什么是0.618 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. B A C

30. 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、列、解、验、答． 增长(下降)率问题 题型 面积问题 速度问题

31. 5 快乐学习 几何与方程 • 1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长.

32. 开启 智慧 经济效益与方程 • 2 .某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?

33. 三、二次三项式的因式分解 a 中的因式千万不能忽略。 2.在分解二次三项式 的因式时，可先用求根公式求出方程 的两个根x1,x2然后,写成

34. 例题讲解 例1 把 分解因式 此步的目的是去掉括号内的分母

35. 练习: • 如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动. • （1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？ • （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？ • 图1

36. （ ） C

37. 练习: 1、在矩形ABCD中，点P从点A沿AB向点B以每秒2cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以每秒1cm的速度移动，AB=6cm，BC=4cm，若P、Q两点分别从A、B同时出发，问几秒后P、Q两点之间的距离为 cm？ C D Q P A B

38. 例：已知实数a、b满足条件a2+4b2+2a-4b+2=0，你认为能够求出a、b的值吗？如果能，请求出a、b的值；如果不能，请说明理由。例：已知实数a、b满足条件a2+4b2+2a-4b+2=0，你认为能够求出a、b的值吗？如果能，请求出a、b的值；如果不能，请说明理由。

40. 8、已知关于x的方程 ， a为何非负整数时， （1）方程只有一个实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程有两个不相等的实数根？

41. 练一练： • 1、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽 。 • 2、一块长方形木板长40cm，宽30cm。在木板中间挖去一个底边长为20cm，高为15cm的 等宽U形孔，已知剩下的木板面积是原来面积的 ，求挖去的U形孔的宽度。

42. 5、已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是0，试确定m的值5、已知关于x的方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根是0，试确定m的值 解：∵0是方程的解 ∴代入得m2-9=0 ∴ m=±3 经检验 m=±3都符合题意 ∴ m=±3

43. 解：把方程化简，得 (b+c)x2-2ax+(c-b)=0 b2-4ac=(-2a)2-4(b+c)(c-b)=4a2-4(c2-b2) =4a2-4c2+4b2=0 ∴a2-c2+b2=0, 即a2+b2=c2 ∴ △ABC是直角三角形

44. 效果检测 1.方程x2= 7x的解是. 2.对于任意的实数x,代数式x2－5x＋10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 3.能使分式 的值为零的所有的值是( ) A、1 B、 -1 C、 1或 -1 D、2或 -1 4.方程2x2-2x-1=0的解是． 5.若关于的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2． 则另一根x2及q的值分别是（ ） A.x2 =1,q=2 B. x2 = -1,q =2 C. x2 =1,q = -2 D. x2 = -1,q = -2 返回

45. 9 2 m 4 效果检测 6.把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式,在方程的两边需同时加上的式子是 A. 9m2 B. 9m2x2 C. D. 7.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是 A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2 返回

46. 效果检测 8.下面是张潇同学在测验中解答的填空题，其中答对的是 A．若x2=4，则x=2 B．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C．方程x2+2x+2=0实数根的个数为0个 D．方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根 9.已知两数的和是4,积是1，则此两数为. 返回