第五章 数组和特殊矩阵

1. 第五章 数组和特殊矩阵 • 数组及其存储结构 • 特殊矩阵的压缩存储 对称矩阵的压缩存储 三角矩阵的压缩存储 对角矩阵的压缩存储 稀疏矩阵的压缩存储

2. 5.1 数组及其存储 数组的定义 • 数组是n(n>=)个相同数据类型数据元素构成的有限序列。 • 数组可分为一维数组和多维数组。一维数组可看成是一种线性表。 • 二维数组及多维数组可以看成是线性表的推广，其中二维数组（或称矩阵）可以看成是这样一个线性表：它的每个数据元素也是一个线性表。

3. 对数组的操作主要是存取数组元素，即向某个数组元素存入数据和获取某个数组元素中的数据。对数组的操作主要是存取数组元素，即向某个数组元素存入数据和获取某个数组元素中的数据。

4. 数组的存储结构 数组是一种随机存储结构(顺序存储) 一维数组

5. LOC ( i ) = LOC ( i -1 ) + l =α+ i*l

6. 二维数组(矩阵) 三维数组(书) 行向量 下标i 页向量 下标i 列向量 下标j 行向量 下标j 列向量 下标 k

7. 二维数组 通常有两种顺序存储方式： • （1）行优先顺序: 将数组元素按行排列 • （2）列优先顺序: 将数组元素按列排列

8. 行优先 LOC ( j, k ) = a + ( j * m + k ) * l

9. 5.2 特殊矩阵的压缩存储 1、对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： 则称A为对称矩阵。对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只需要存储矩阵的上三角或下三角矩阵，这样可以节约大约一半的空间。

10. a00 a10 a11 a20 a21 a22 ....... an-1,0 ........ an-1,n-1 在这个下三角矩阵中，第i行恰有i+1个元素，元素总数为：

11. 将这些元素存放在一个向量sa[n(n+1)/2]中。为了便于访问方阵A中的元素，必须在aij和sa[k]之间建立一个对应关系。若aij在下三角矩阵中，则有：将这些元素存放在一个向量sa[n(n+1)/2]中。为了便于访问方阵A中的元素，必须在aij和sa[k]之间建立一个对应关系。若aij在下三角矩阵中，则有： 若aij在上三角矩阵中，则有：

13. 2、三角矩阵 以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种： 在多数情况下，三角矩阵的常数c为0。

14. 三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量sa[n(n+1)/2+1]中，其中c存放到向量的最后一个分量上。三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量sa[n(n+1)/2+1]中，其中c存放到向量的最后一个分量上。 上三角矩阵中，aij和sa[k]之间的对应关系为： 下三角矩阵中，aij和sa[k]之间的对应关系为：

15. 3、对角矩阵 对角矩阵中，所有非0元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中。

16. 对角矩阵的压缩存储方法 • 将位于以主对角线为中心的带状区域中的非零元素按某种顺序（如按行优先顺序、按列优先顺序或按对角线的顺序）压缩存储到一个一维数组中。 找每个非0元素和向量下标的对应关系

17. 举例: • 将三对角矩阵A中的非零元素按“行优先顺序”存放到数组sa[3n2]中。三对角矩阵A中，除第一行和最后一行只有两个非零元素外，其他每行中均有三个非零元素，可知矩阵中位于aij之前的非零元素共有i行，共包含3i1个非零元素，且aij所在的第i行前面还有j(i1)个非零元素。因此可推出，sa[k]与三对角矩阵中的元素aij存在的对应关系为 • k = 3i1+j(i1) = 2i+j

18. 4 稀疏矩阵的压缩存储 • 如果一个矩阵的非0元素个数远远小于矩阵元 素的总数，则称这个矩阵为稀疏矩阵。

19. 一般来说，稀疏矩阵非0元素的分布是无规律的。因此，在存储非0元素的同时，还要存储适当的辅助信息，才能迅速确定某一指定非0元素的位置。一般来说，稀疏矩阵非0元素的分布是无规律的。因此，在存储非0元素的同时，还要存储适当的辅助信息，才能迅速确定某一指定非0元素的位置。 • 稀疏矩阵常用的压缩存储方式： • 三元组表 • 十字链表

20. (1)三元组表 若将表示稀疏矩阵的非0元素的三元组按行优先顺序排列，则可得到一个其结点均是三元组的线性表，这个顺序存储结构就称为三元组表。 非0元素的 行号, 列号, 值

21. template<class T> struct Triple { int r, c; //行下标与列下标 T elem; //元素值 };

22. template<class T> • class SparseMatrix • { • vector<Triple<T>> triList; //三元组表 • int rows, cols, num; //行数、列数和非零元素个数 • public: • SparseMatrix( ); //无参构造函数 • SparseMatrix(Triple<T> *tlist, int rs, int cs, int n); //构造函数 • void trans(SparseMatrix& B); //矩阵转置运算 • SparseMatrix& plus(SparseMatrix& B); • SparseMatrix& mult(SparseMatrix& B); • void print(); //打印矩阵信息 • };

23. 朴素转置算法

24. template<class T> • void SparseMatrix<T>::trans(SparseMatrix<T>& B) • { • B.rows=cols; B.cols=rows; B.num=num; • if (num==0) return; q = 0; • for (col=0; col<cols; ++col) //按矩阵A的列序进行转置 • for (p=0; p<num; ++p) • if ( triList[p].c == col ){ • B.triList[q].r=triList[p].c; • B.triList[q].c=triList[p].r; • B.triList[q].elem=triList[p].elem; • ++q; • } • }

25. (2)十字链表 当非0元素的位置和个数经常发生变化时，三元组表就不适合做稀疏矩阵的存储结构。因此，采用链接形式的存储结构更为恰当。 十字链表是稀疏矩阵链接形式存储结构的一种（当然还有其它形式）。在该方法中每一个非0元素用一个结点表示，结点中除了表示非0元素的行、列和值的三元组外，还增加了两个链域：行指针域，用来指向本行中下一个非0元素；列指针域，用来指向本列中下一个非0元素。

26. i j val down right 十字链表中的结点结构

28. 举例

30. template<class T> • struct CrossNode • { • int r, c; //非零元素所在的行号和列号 • T elem; • CrossNode *right, *down; • };

31. template<class T> • class CrossMatrix • { • vector<CrossNode<T>> rheads, cheads; • int rows, cols, num; 行数、列数和元素个数 • public: • CrossMatrix(); //无参构造函数 • CrossMatrix(int r, int c, int n); //构造函数 • void trans(CrossMatrix& B); //矩阵转置 • CrossMatrix& plus(CrossMatrix& B); //加法 • CrossMatrix& mult(CrossMatrix& B); //乘法 • void print(); //打印矩阵信息 • };

32. 本 章 小 结 （1）掌握多维数组的概念与顺序存储方法。 （2）掌握对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵这三种特殊矩阵的压缩存储方法，并掌握矩阵元素和压缩为一维数组元素之间的对应关系。 （3）掌握稀疏矩阵的概念与两种压缩存储方法：三元组顺序表法和十字链表法