Matching and Assignment Problems with The Hall Theorem

1. Atama ve eşleme (eşleştirme) problemleri(Matching and Assignment problems)

5. Hall Teoremi: Sözel olarak: • Eğer her bir erkek grubu için onların hoşlandıkları kızlar grubu daha genişse, • her bir erkek isteğine göre kız bulabilir

7. a x b y c z d w e

10. Sözel olarak: Eğer her bir erkek yeterince istekli ise (k´dan fazla kızla ilgileniyorsa) ve • hiç bir kız özel ilgi görmüyorsa (k´dan fazla ilgi görmüyorsa), • her bir erkek isteğine göre kız bulabilir.

11. Ör.: 50 öğrenciden oluşan bir sınıfta 25 erkek ve 25 kız vardır. Her erkek 5 kızdan hoşlanıyor. Her kız için ondan hoşlanan 5 erkek vardır. Bir okul partisine her erkek hoşlandığı bir kız ile katılabilir mi?

13. Ör.: 45 öğrenciden oluşan bir sınıfta 20 erkek ve 25 kız vardır. Her erkek 5 kızdan hoşlanıyor. Her kız için ondan hoşlanan 4 erkek vardır. Bir okul partisine her erkek hoşlandığı bir kız ile katılabilir mi?

18. Ağırlıksız ikili eşleştirme

19. Tanımlar Eşleştirme Serbest köşe

20. Tanımlar • Maksimum eşleştirme: en fazla kiriş sayısına sahip eşleştirme

21. Tanım • Maksimum eşleştirme tek türlü olmayabilir.

22. Değişmeli Yol • Değişmeli yol eşleştirilmiş ve eşleştirilmemiş kirişlerin değişmeli yoludur. a c d e b f h i j g d-h-e: değişmeli yoldur a-f-b-h-d-i: serbest köşeden serbest köşeye değişmeli yoldur f-b-h-e: değişmeli yol değil e-j: serbest köşeden serbest köşeye değişmeli yoldur

23. Ana fikir • “Çevir”işlemi:serbest köşeden serbest köşeye olan değişmeli yolda eşleştirilmiş kirişleri eşleştirilmemiş ve tersine yap • Not: Çevir işleminden sonra eşleştirilmiş kiriş sayısı 1 artar 

24. Ana fikir • Herhangi bir eşleştirmeden başla • Serbest köşeden serbest köşeye değişmeli yol bulunduğu sürece • Bu tür bir P yolunu bul • P yolunda çevir yap

25. Breadth-First Search Algorithm for Augmented Path • Use Breadth-First Search: • LEVEL(0) = some unmatched vertex r • for odd L > 0, • LEVEL(L) = {u|{v,u}  E – M • when v  LEVEL(L -1) • and when u in no lower level} • For even L > 0, • LEVEL(L) = {u|{v,u}  M • when v  LEVEL(L -1) • and u in no lower level} • Assume G is bipartite graph with matching M.

26. Labelling Algorithm • Start with arbitrary matching

27. Labelling Algorithm • Pick a free vertex in the bottom

28. Labelling Algorithm • Run BFS

29. Labelling Algorithm • Alternate unmatched/matched edges

30. Labelling Algorithm • Until a augmenting path is found

31. Augmenting Tree

32. Flip!

33. Repeat • Pick another free vertex in the bottom

34. Repeat • Run BFS

35. Repeat • Flip

36. Answer • Since we cannot find any augmenting path, stop!

37. Overall algorithm • Start with an arbitrary matching (e.g., empty matching) • Repeat forever • For all free vertices in the bottom, • do bfs to find augmenting paths • If found, then flip the edges • If fail to find, stop and report the maximum matching.

38. Time analysis • We can find at most |V| augmenting paths (why?) • To find an augmenting path, we use bfs! Time required = O( |V| + |E| ) • Total time: O(|V|2 + |V| |E|)

39. Improvement • We can try to find augmenting paths in parallel for all free nodes in every iteration. • Using such approach, the time complexity is improved to O(|V|0.5 |E|)

40. Stable Marriage Problem

41. Stable Marriage Problem • Given N men and N women, each person list in order of preference all the people of the opposite sex who would like to marry. • Problem: • Engage all the women to all the men in such a way as to respect all their preferences as much as possible.

42. A B C D E 1 2 3 4 5 2 1 2 1 5 E D A C D 5 2 3 3 3 A E D B B 1 3 5 2 2 D B B D C 3 4 4 4 1 B A C A E 4 5 1 5 4 C C E E A Stable? • A set of marriages is unstable if • two people who are not married both prefer each other than their spouses • E.g. Suppose we have A1 B3 C2 D4 E5. This is unstable since • A prefer 2 more than 1 • 2 prefer A more than C

43. Naïve solution • Starting from a feasible solution. • Check if it is stable. • If yes, done! • If not, remove an unstable couple. • Is this work?

44. A B C D E 1 2 3 4 5 2 1 2 1 5 E D A C D 5 2 3 3 3 A E D B B 1 3 5 2 2 D B B D C 3 4 4 4 1 B A C A E 4 5 1 5 4 C C E E A Naïve solution (2) • Does not work! • E.g. • A1 B3 C2 D4 E5 • A2B3 C1 D4 E5 • A3 B2 C1 D4 E5 • A3 B1 C2 D4 E5

45. Solution • Let X be the first man. • X proposes to the best woman in the remaining on his list. (Initially, the first woman on his list!) • If α is not engaged • Pair up (X, α). Then, set X=next man and goto 1. • If α prefers X more than her fiancee Y, • Pair up (X, α). Then, set X=Y and goto 1. • Goto 1

46. A B C D E 1 2 3 4 5 2 1 2 1 5 E D A C D 5 2 3 3 3 A E D B B 1 3 5 2 2 D B B D C 3 4 4 4 1 B A C A E 4 5 1 5 4 C C E E A Example A B C D E 2 1 2 1 5 5 2 3 3 3 1 3 5 2 4

47. Time analysis • If there are N men and N women, • O(N2) time