資訊科學數學 2 : Basic Rules of Counting

1. 資訊科學數學2:Basic Rules of Counting 陳光琦助理教授 (Kuang-Chi Chen) chichen6@mail.tcu.edu.tw

2. Sum & Product 1 和與積 (The Rules of Sum and Product) 1.1 和規則（The rule of sum） • 第一個工作可以m種方法完成，而第二個工作可以n種方法完成，若這兩工作不可同時被執行且這些方法皆不同，則執行任一工作可以m+n種方法中的任一種來完成。 e.g., 咖啡5種、紅茶7種，任選一種飲料的選擇性…

3. Examples of Sum e.g.1,某門課的期末報告參考文獻：題材A的m篇期刊文章，題材B的n篇期刊文章，若只需寫一主題且這些文章皆不相同，則同學可自由選擇m+n篇文章中的任一篇來完成， i.e., 同學的選擇性有m+n種。 e.g.2,關於某門課，A老師有3本參考書籍，B老師有5本參考書籍，則C老師可以向這兩位老師借5 ~ 8本書籍以供參考， 因為A, B兩位老師可能有相同的書籍。

4. Definition of Product 1.2 積規則（The rule of product） • 若一程序有兩階段，第一階段有m種可能作法，第二階段有n種作法，則依照順序，整個程序共有m×n種完成的方法。 e.g., 咖啡5種、紅茶7種，各選一種飲料的選擇性…

5. Examples of Product e.g.3, 某校戲劇社之春季公演試鏡，男主角有3人來試鏡，女主角有4人來試鏡，在不考慮演技因素，導演有3×4種男女主角組合可供考慮。 e.g.4, 在設定三位數字密碼，若數字可以重複，則有10×10×10種組合可供考慮； 若數字不可重複，則有10×9×8種組合； 若必須為百位數 (第一位數不為0) 且 數字可重複，則有9×10×10種組合。

6. Examples of Product (cont’d) e.g.5, 電腦記憶體內的電路組合，每一個可儲存一個位元（bit），即二進位數字0或1。這些儲存電路會被指定在有序八位元表列（位元組byte）的位址（address），利用積規則，共有2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256個位元組可供儲存。 • 若一般數位家電如微波爐，是由兩個連續的位元組組成，因此共有28×28 = 63,536個可用位址來被記憶細胞儲存資料。

7. Example of Sum & Product e.g.6, 同時使用和與積的規則 • 某家咖啡店下午茶提供5種蛋糕、3種冰淇淋、4種冰飲、3種熱飲，搭配方式為一塊蛋糕+一杯冰飲 或 一球冰淇淋+一杯熱飲 兩種組合方式，請問有幾種選擇？ Ans. 5×4 + 3×3 = 29 .

8. Permutation 2 排列（Permutation） n個不同物體的任何線性安排 (arrangement) ，這些安排稱為排列 (permutation)。

9. Arrange, Order & Factorial 2.1 安排、順序與階乘（Arrange, order and factorial） • 線性安排強調順序（order） • 大於或等於0的整數，n階乘 (n factorial)為 n! = n×(n – 1)× … ×2×1, for any n≥1; 0! = 1. ※ Recursive rule: (n + 1)! = (n + 1)× n!

10. Definition of Permutation 2.2 排列（Permutation） • n個不同物體的任何線性安排 (arrangement) ，這些安排稱為排列 (permutation)。

11. Examples of Permutation e.g.7, 4家無線電視台先後招考晨間新聞主播，一經錄取則不得反悔，10位記者同時爭取，則共有幾種可能的結果？ • 第一家可選擇的人數為10人，第二家可選擇的人數為9人，第三家可選擇的人數為8人，第四家可選擇的人數為7人，共有10×9×8×7種可能的結果。 i.e., 10!/6! = 10! / (10 – 4)!

12. Formula of Permutation 2.2.1 n個不同物體的r個線性安排：P(n, r)， • P(n, r) = n!/ (n – r)! ，for any 0≤ r ≤n = n × (n – 1) × … × (n – r + 1)。 1st位置, 2nd位置, … , rth位置 • 當 r = 0，P(n, 0) = n!/ (n – 0)! = 1； 當 r = n，P(n, n) = n!/ (n – n)! = n!。 Note: P(n, r)的排列，物體是不可以重複的，若是物體可以重複，則為nr。（見e.g.4）

13. Permutation 2 2.2.2 n個物體中有n1個為第一類型，n2個第二類型，…，nr個第r類型，n1 + n2 + … + nr = n，則n個物體的線性安排 n!/ (n1! n2! … nr!)。 e.g.8, FAST這個字的字母總排列數為4! = 24； 若取其中2個字母排列，則排列數為 P(4, 2) = 4!/(4 – 2)! = 12。 • FAST, FATS, FSAT, FSTA, FTAS, FTSA, AFST, AFTS, ASFT, ASTF, ATFS, ATSF, SFAT, SFTA, SAFT, SATF, STFA, STAF, TFAS, TFSA, TAFS, TASF, TSFA, TSAF; • FA, AF, FS, SF, FT TF, AS, SA, AT, TA, ST, TS.

14. Example of Permu2 e.g.9, BEER這個字的字母總排列數不為4!，因為其中2個字母相同（n1 = 1, n2 = 2, n3 = 1），故其排列數為4!/2! = 12。 • BEER, BERE, BREE, EBER, EBRE, EEBR, EERB, ERBE, EREB, RBEE, REBE, REEB.

15. Example of Permu2 e.g.10, FASTEST這個字的字母總排列數， 因為其中S與T各有2次重複出現（n1 = 1, n2 = 1, n3 = 2, n4 = 2, n5 = 1）， 故其排列數為 7!/2!2! = 1,260。

16. Example of Permu2 e.g.11, 在XY-格子平面上，由座標(1,0)走至(5,4)的最短路徑數，（只能往上或往右走，不能回頭、繞路）。(見圖1的說明)

17. Example of Permu2 (cont’d) e.g.11 (圖1)

18. Example of Permu2 (cont’d) e.g.11 (cont’d) • 圖1左的走法為(R, R, R, R, U, U, U, U) ，圖1右的走法為(R, U, U, U, R, R, R, U) 。 • 由所列出之排列得知，最短路徑為4個R與4個U所組成，共有4+4步的移動，因此總排列數為 8!/4!4! = 70。

19. Example of Permu3 2.2.3 圓型排列 e.g.12, 在方桌上的4個人，A, B, C, D，分別坐在北東南西四個位置， 若北東南西四個位置代表不同的座位，則這四個人的位置安排數為4! = 12； 若這四個位置沒有不同，只要四人彼此的順序不變即視為一樣，則這四個人的位置安排數為 4!/4 = 3! = 6。

20. Example of Permu3 (cont’d) e.g.12 (圖2-1) (i) (ii) (iii)

21. Example of Permu3 (cont’d) e.g.12 (cont’d) • 在情況一，(i) & (ii)代表不同的安排； • 在情況二，(i) & (ii)代表相同的安排，而(iii)與(i) (& ii)代表不同的安排。

22. Example of Permu3 (cont’d) e.g.12 (圖2-2) (iv) (v) (vi) (vii) 六種組合分別為i, iii, iv, v, vi, vii

23. Combination 3.1 選擇與組合（Selection and Combination） • 由n個不同物體中取出r個物體，在不考慮順序的情況下，有C(n, r)種組合， • C(n, r) = n!/r!(n – r)! = P(n, r)/r!，for any 0≤ r≤n。 Note: C(n, 0) = C(n, n) = 1；C(n, 1) = C(n, n–1) = n若0 ≤n < r，則C(n, r) = 0。

24. Examples of Combination e.g.13, 由學校自助餐的5種菜色選取3種，其可能的組合數為 C(5, 3) = 5!/3!2! = 10。 e.g.14, 樂透彩係由1-49的號碼中選取5個（與選取順序無關），及1-42中選1個特別碼，則可能的組合號碼為 C(49, 5)×C(42, 1) = 80,089,128，… …. 故中第一特獎的機率為1/80,089,128。

25. Examples of Combination e.g.15, 由撲克牌中選取5張，其中一張必須為紅心，則可能組合為 C(13, 1)×C(51, 4) = 13×249,900 = 3,248,700 ？？ 錯！

26. Examples of Combination e.g.15 (cont’d) • C(13, 1)×C(39, 4) + C(13, 2)×C(39, 3) + C(13, 3)×C(39, 2) + C(13, 4)×C(39, 1) + C(13, 5)×C(39, 0) = = 2,023,203。

27. Binomial Theorem 3.2 二項式定理（The binomial theorem） 若x及y為變數，且n為一正整數，則 • (x + y)n= = Note: C(n, r)被稱為二項式係數（binomial coefficient）.

28. Examples of Binomial e.g.16, 當n = 4的展開式為(x + y)(x + y)(x + y)(x + y)的展開，其中x2y2為4次方中，兩個為x (相同)，兩個為y，故所形成的組合數 4!/2!2! = C(4, 2) = 6。 • 故當n = 7的展開式，x5y2的係數為 C(7, 5) = 7!/5!2! = C(7, 2) = 21。

29. Examples of Binomial e.g.17, (2a + 3b)3的展開式，a2b1的係數為 • C(3, 2)(2a)2(3b)1 = 3×(2)2(3)a2b = 36a2b， 故a2b的係數為36。 i.e., (x + y)n中，x = 2a，y = 3b代入。

30. Application of Binomial 定理一：對每個整數n > 0 a) C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n) = 2n， b) C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) – C(n, 3) + … + (-1)nC(n, n) = 0。

31. Proof of Theorem 1 證明： a) (x + y)n中，x = 1，y = 1 代入， 右式等於 C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n)， 左式等於 2n； b) (x + y)n中，x = -1，y = 1 代入 …。

32. Multinomial Theorem 多項式定理（The multinomial theorem） (x1 + x2 + x3 + … + xk)n的展開式