Разпределение на Поасон

1. Разпределение на Поасон

2. План • Постановка на задачата. Връзка с биномното разпределение • Извод на функцията на разпределение. Графично представяне • Характеристики на Поасоновото разпределение • Примери за приложение на Поасоновото разпределение

3. 1. Постановка на задачата • Поредица от независими случайни събития – зададен е средният брой събития , които настъпват за определен интервал. Каква е вероятността за същия интервал да настъпят k събития? • Тип на разпределението– дискретен; Случайна променлива–k = 0,1,2…

4. 1. Постановка на задачата • Пример: Брояч регистрира средно 5 разпадания за минута. Каква е вероятността да регистрира 10 разпадания за 1 минута? • Пример: В родилен дом се раждат средно 10 деца за един ден. Каква е вероятността за същото време да се родят 5 деца?

5. 1. Връзка с биномното разпределение • Разделяме интервала на голям брой n подинтервали. • Интервалите са толкова малки, че пренебрегваме вероятността в един от тях да настъпят повече от едно събитие. • Вероятността да настъпи едно събитие в даден подинтервал е

6. 1. Връзка с биномното разпределение • Поасоновото разпределение е граничен случай на биномното, когато n :

7. 2. Извод на функцията на разпределение

8. 2. Извод на функцията на разпределение

9. 2. Извод на функцията на разпределение • Пример: Поасоново разпределение при  = 5

10. 3. Характеристики на Поасоновото разпределение • Математическо очакване От дефиницията за Поасоново разпределение: E(k)  

11. 3. Характеристики на Поасоновото разпределение • Дисперсия и стандартно отклонение За биномно разпределение: За Поасоново разпределение n,  = const

12. 3. Характеристики на Поасоновото разпределение • Пример: Пресметнете стандартното отклонение за Поасоново разпределение с  = 10 и вероятността за попадане в интервала [ - ,  + ] Решение: [ - ,  + ]= {7,8,910,11,12,13}

13. 3. Характеристики на Поасоновото разпределение

14. 3. Примери за Поасоновото разпределение • Пример: Каква е вероятността в зала със 100 човека: а) да има точно един, роден на 1 януари; б) да има поне един, роден на 1 януари?

15. 3. Примери за Поасоновото разпределение Решение:n = 100 >> 1, p = 1/365 << 1 • Поасоново приближение на биномното разпределение! •  = np = 100/365  0.274 а) P = p(1, ) = 0.274.exp(–0.274)  0.208 б) P = 1 – p(0, ) = 1 – exp(–0.274)  0.240

16. 3. Примери за Поасоновото разпределение Пример: При измерване на радиоактивен фон Гайгер-Мюлеров брояч регистрира 10 разпадания/min. А) Оценете относителната грешка  при измерване интензивността на фона. Б) В продължение на какво време tтрябва да се измерва фонът, така че относителната грешка да е по-малка от 1 %?