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【 例 3】 在△ ABC 中,如图 8-2-8 , BC=9 , AC=12 , AB=15 ,∠ ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D , DE⊥DB 交 AB 于点 E. ` 图 8-2-8 (1) 求证:△ ABC 是直角三角形 . (2) 设⊙ O 是△ BDE 的外接圆,求证: AC 是⊙ O 的切线 . (3) 设⊙ O 交 BC 于点 F ,连结 EF ,求 AE 的长和 EF∶AC 的值 . (2003 年 · 广西 ). 【 解析 】 (1) 根据勾股定理的逆定理,很容易证得.
E N D
【例3】在△ABC中,如图8-2-8,BC=9,AC=12,AB=15,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E.【例3】在△ABC中,如图8-2-8,BC=9,AC=12,AB=15,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E. `图8-2-8 (1)求证:△ABC是直角三角形. (2)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线. (3)设⊙O交BC于点F,连结EF,求AE的长和EF∶AC的值. (2003年·广西)
【解析】 (1)根据勾股定理的逆定理,很容易证得. (2)要证切线,若这条直线上有一点在圆上,通常是过这一点作半径,证明半径垂直于这条直线即可,因此此题须连结OD,证OD⊥AC. ∵∠BDE=90°∴BE是⊙O的直径 ∴OB=OD ∴ ∴OD⊥AC (3)通过平行或相似求解 OD∥BC 由∠BFE=90° EF∥AC
【例4】直线l切⊙O于点C,AD为⊙O的任一条直径,点B在直线l上,且∠BAC=∠CAD(AB与AD不在一条直线上)画出图形,试判断四边形ABCO是怎样的特殊四边形?并证明你所得到的结论.【例4】直线l切⊙O于点C,AD为⊙O的任一条直径,点B在直线l上,且∠BAC=∠CAD(AB与AD不在一条直线上)画出图形,试判断四边形ABCO是怎样的特殊四边形?并证明你所得到的结论. 【解析】本题可根据题意画出⊙O与它的切线l,再画直径AD,最后根据∠BAC=∠CAD,来确定B的位置.在探索四边形ABCO形状时,可转动直径AD,画出几个不同位置的图形进行观察,猜想,发现在一般情形下(即AD与l不行平时)四边形ABCO可能是直角梯形,而当AD∥l时,四边形ABCO变成了正方形,所以在解题时需分两种情况进行分类、讨论、证明,如下8-2-9(1),8-2-9(2)两图.
AD不平行于l图8-2-9(1) AD∥l图8-2-9(2) ∠3=∠2OC∥AB 若AD不平行于l,则OCBA为直角梯形. AD∥l 若 OC∥AB 四边形ABCO是正方形 OC⊥BC
方法小结: 1.若证切线,有两条思路: ①是直线上的点不知是否在圆上的,则过圆心作该直线的垂线,根据定义证; ②是已知直线上的点在圆上,则连结圆心和这一点,根据切线的判定定理证明. 2.有切线,则常连结过切点的半径;若不知切 点,则过圆心作切线的垂线,则垂足为切点有切线,常利用弦切角计算或证明.
课时训练 1已知圆的直径为13 cm,圆心到直线l的距离为6cm, 那么直线l和这个圆的公共点个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无法确定 C 2. 如图8-2-10,AB、AC是⊙O的两条切线,B、C是切点,∠A=50°,点P是圆上异于B、C的一动点,则∠BPC的度数是( ) A.65° B.115° 图8-2-10 C.65°或115° D.130°或50° (2003年·山西省) C
3.如图8-2-11中,AB、AC为⊙O的切线,B和C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连结AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于( )3.如图8-2-11中,AB、AC为⊙O的切线,B和C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连结AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于( ) 图8-2-11 A.70° B.64° C.62° D.51° B
4.如图8-2-12,BC为半圆的直径,CA为切线,AB交半圆于E,EF⊥BC于F,连结EC,则图8-2-12中与△EFC相似的三角形共有( )4.如图8-2-12,BC为半圆的直径,CA为切线,AB交半圆于E,EF⊥BC于F,连结EC,则图8-2-12中与△EFC相似的三角形共有( ) 图8-2-12 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D
5.如图8-2-13,PA,PB分别切⊙O于A、B,OP交⊙O于C,下列结论中错误的是( )5.如图8-2-13,PA,PB分别切⊙O于A、B,OP交⊙O于C,下列结论中错误的是( ) 图8-2-13 A.∠1=∠2 B.PA=PB C.AB⊥OP D.PA王2=PC·PB D
6.如图8-2-14,∠AOB=30°,OA=10,那么以A为圆心,6为半径的⊙A与射线OB的关系是( )6.如图8-2-14,∠AOB=30°,OA=10,那么以A为圆心,6为半径的⊙A与射线OB的关系是( ) 图8-2-14 A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 A
1.已知:△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF 图8-2-15(1) 图8-2-15(2) (1)如图8-2-15(1),AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,还需添加的条件(只须写出三种情况): ①AB⊥EF或 ②∠CAE=∠B或 ③∠C=∠FAB(或∠BAC+∠CAE=90°,∠EAB=∠FAB)
(2)如图11-2-15(2),AB是非直径弦∠CAE=∠B,求证:EF是⊙O的切线.(2)如图11-2-15(2),AB是非直径弦∠CAE=∠B,求证:EF是⊙O的切线. 证明:连结AO并延长AO交⊙O于H,连结HC ∴∠H=∠B ∵AH是直径∴∠ACH=90° ∵∠B=∠CAE∴∠CAE+∠HAC=90° ∴HA⊥EF∴EF是⊙O的切线 2.已知:如图8-2-16(1),点P在⊙O外,PC是⊙O的切线,切点为C,PO与⊙O相交于A、B (2003年·新疆生产建设兵团)
图8-2-16(1) 图8-2-16(2) 图8-2-16(3) (1)试探求∠BCP与∠P的数量关系. (2)若∠A=30°,则PB与PA有什么数量关系? (3)∠A可能等于45°吗?若∠A=45°,则过点C的切线与AB有怎样的位置关系?(图8-2-16(2)供你解题使用) (4)若∠A>45°,则过点C的切线与直线AB的交点P的位置将在哪里?(图8-2-16(3)供你解题使用)
解:(1) ∠BCP= (2)若∠A=30°,则∠BCP=∠A=30° ∠P=30° = PA 或 PA=3PB (3)∠A可以等于45°. 如图8-2-16(2),当∠A=45°时,过点C的切线与AB平行. (4)若∠A>45°,则过点C的切线与直线AB的交点P在AB的反向延长线上.