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第七章 空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数. 第一节 向量及其线性运算. 第二节 数量积 向量积 *混合积. 第三节 曲面及其方程. 第四节 空间曲线及其方程. 第五节 平面及其方程. 第六节 空间直线及其方程. 第一节 向量及其线性运算. 一、向量概念. 二、向量的线性运算. 三、空间直角坐标系. 四、利用坐标作向量的线性运算. 五、向量的模、方向角、投影. 一、向量概念. B. 向量：有向线段. A. 符号表示：. 向量的大小：长度的值. 向量的方向：箭头方向. 自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关.

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第七章 空间解析几何与向量代数

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  1. 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程

  2. 第一节 向量及其线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

  3. 一、向量概念 B 向量：有向线段. A 符号表示： 向量的大小：长度的值. 向量的方向：箭头方向. 自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关. 自由向量的相等：大小相等且指向相同. 向量的模：向量的长度. 单位向量：模为1的向量. 零向量：模等于零的向量，其方向任意. 向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反. k个向量共面： k个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上.

  4. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 二、向量的线性运算 1. 向量的加减法 加法： (1) 三角形法则 (2) 平行四边形法则 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： 多个向量相加，可以按照三角形法则.

  5. 减法 ： 1、平行四边形法则 特例：

  6. 2. 向量与数的乘法 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律：

  7. D C M 即 A B 所以 例1 设 在平行四边形ABCD中， . , 试用和表示向量 、 、 和 , 这里M是平行四边形对角线的角交点. 解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 于是 因为 所以 又因 所以

  8. 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 两个向量的平行关系

  9. ‖ 设 充分性显然； 证 取 必要性 即有 的唯一性 设 又设 即 两式相减，得 故 即

  10. x x O P i ． ． 点P 向量 实数x =xi 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 = xi

  11. 一、空间直角坐标系 空间直角坐标系: 过空间一个定点 ，作三条相互垂直的数轴, 它们都以O为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别 叫做 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）和 z 轴（竖轴）. 一般是将 x轴和y轴放置在水平面上, 那么z轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则, z 即伸出右手, 让四指与大拇指垂直, 并使四指先指向 x 轴, 然后让四指 沿握拳方向旋转90o 指向y轴, 此时大拇指的方向即为z轴方向. y 这样就构成了空间直角坐标系， x O 称为坐标原点.

  12. z yOz 平面 zOx 平面 y xOy 平面 x 坐标面： 在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平面称为 坐标平面, 简称坐标面. 即xoy坐标面、 xoz坐标面 和yoz坐标面.

  13. z y x 八个卦限 0

  14. . z y x 八个卦限 0

  15. . z y x Ⅲ Ⅱ 八个卦限 z Ⅰ Ⅳ M  (x,y,z) 点的坐标 (x,y,z) M 0 y x N Ⅵ Ⅴ Ⅷ

  16. . z 0 y x (x,y,z)  M 坐标和点 z (x,y,z) M 0 y x N

  17. . z 0 y x M点到原点的距离 M点到坐标面的距离 M点到坐标轴的距离 到z轴: 到x轴: d1 到y轴: (x,y,z) M d3 d2 0 Q N P . . .

  18. 坐标面上的点 向量的坐标分解式： 向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如 . 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点

  19. 四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 为实数） 推论：

  20. 例2 求解以向量为未知元的线性方程组 其中 解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，可解得 的坐标表示式代入，即得

  21. l ¹ - 1 由题意知： x1,,y1,z1 x2,,y2,z2 ( ) ) 例 3 ( 已知 A 和 B 以及实数 ，在 AB M 直线上求点 ,使 解 设 为直线上的点， 这就是点M的坐标.

  22. 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点的距离公式 向量的模： 设有点 则其距离为 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 例4 求证以 解 因为 同理可得 所以 即 为等腰三角形.

  23. 例5 在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解 因为所求的点M在z轴上,所以设M(0,0,z),依题义有 即 两边去根号,解得 z= 所求的点M(0,0, ). 例6 已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与AB方向相同得单位向量. 解 因为 AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2), 所以 于是

  24. B A 设 r r a 向量 与向量 的夹角 b 2. 方向角与方向余弦 两向量的夹角的概念： 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

  25. 方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角 z 设非零向量r =(x,y,z) r 的方向角： R M y O Q P x 方向余弦: 方向余弦的特征: 单位向量 的方向余弦为:

  26. 例7 已知两点 和 ，计算向量 得模、方向余弦和方向角. 解

  27. 例8 设点A位于第 卦限,向径OA与x轴、y轴的夹角依次为 和 ，且 ，求点A的坐标。 解 依题意有 由关系式 得 因点A在第一卦限,知 于是 这就是点A的坐标.

  28. . 3. 向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影: 过点 作轴 的垂直平面，交点即为点 在轴 上的投影. 设 则 或记作

  29. (即 ), 其中 为向量 与 轴的夹角; (即 ); (即 ). 例9 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且 , 求OA在OM方向上的投影Prj . 解记 有 于是Prj 性质1 性质2 性质3

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