מנחה: ד"ר ויקטור אוסטרובסקי כרמיאל

1. פרויקט מסכם לתואר בוגר במדעים (Sc.B) במתמטיקה שימושית כאוס מעשי – מעגל צ'ואה Chua Circuit מנחה: ד"ר ויקטור אוסטרובסקי כרמיאל מגיש: דודו דיין

2. מבוא • לאון צ'ואה (Leon Chua) המציא את מעגל CHUA בשנת 1983 בעת שחקר את משוואות לורנץ. ויצר תופעה כאוטית מוחשית, פיזית ופשוטה למימוש. • מערכת זו יצרה ויוצרת עניין רב לא רק בעולמם של מהנדסי האלקטרוניקה אלה גם בעולמם של מתמטיקאים ופיזיקאים רבים. • מכנים את המעגל הזה בספרות בתור "המודל לכאוס" ("Paradigm for chaos"). • מתנד CHUA משמש כגנרטור מעבדתי של אותות אקראיים מדומים, נמצא בשימוש רחב בתקשורת מוצפנת, בהדמיות של תהליכים במוח האנושי ועוד... • מטרת הפרויקט הייתה לחקור את אופיו הכאוטי של מתנד CHUA ולהכיר דרכו את תופעת הכאוס. חקירת הכאוס התבצעה נומרית באמצעות תוכנת MATLAB.

3. מהו כאוס? • חוסר היכולת לקבוע כיצד מערכת דינאמית תתנהג . אין פתרון אנליטי למערכת משוואות המתארת כאוס – עלינו לחשב איטרטיבית בצורה נומרית. • ענף במתמטיקה אשר נפרס על דיסציפלינות רבות כמו פיזיקה, כלכלה, אלקטרוניקה, ביולוגיה, פילוסופיה, אומנות ומזג האוויר. • נדון בכאוס דטרמניסטי – התנהגותו העתידית מאופיינת בצורה חד משמעית על ידי תנאי ההתחלה ברורים – ללא אלמנטים רנדומליים כלשהם. • מסלול המערכת הכאוטית נמצא כל הזמן בתחום חסום של מרחב פזה והמערכת שואפת למושך. • עבור משוואות הפרש התנהגות כאוטית יכולה להופיע כבר במשוואה יחידה, כמו המפה הלוגיסטית. לעומת זאת, עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות התנהגות כאוטית יכולה להופיע רק ממערכת בת לפחות שלוש משוואות אוטונומיות מסדר ראשון.

4. מושך מוזר • דיאגרמת פאזה - כל אחד מצירי גרף הפונקציהמייצג ממד אחד של המצב, והזמן אינו מיוצג בה. • מושך –תחום חסום במרחב פזה שאליו נמשכים מסלולים השייכים לתחום המשיכה. המושך הוא לרוב נקודתי, אך יכול להגיע בצורת לולאות בודדות או כפולות אך תמיד מחזוריות. • מושך מוזר – הוא מושך, כפי שהוגדר לעיל, בעל ממד Hausdorff השונה מאפס. רגיש לתנאי ההתחלה ותלוי בפרמטרים של מערכת באופן רציף (כלומר, בעל מבנה יציב). • כל המושכים המוזרים שנתגלו עד כה הם פרקטלים. • מושכים מוזרים מציגים התנהגות כאוטית. המסלולים לא חוזרים על עצמם אלא חולפים זה ליד זה. החוקיות היא שהמסלולים ימשיכו לנוע בסביבת המושך.

5. פתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות • ישנן מספר שיטות לחישוב נומרי של מד"ר. לצורך התכנסות מהירה יותר לפתרון (מספר נמוך יותר של איטרציות) נבחר שיטות התכנסות מסדרים גבוהים מאחד. • שיטת רונגהקוטה משיגה התכנסות מסדרים גבוהים ואינה כרוכה בחישוב נגזרות, אלא בערכי הפונקציה בלבד. בשקופית הבאה מוצגת תוצאת המימוש של שיטה זאת (מסדר 4) ב MATLAB. • MATLAB ode45 מבוססת על שיטה זו מסדרים 4 ו-5. • פותר המשוואות מייצר מטריצת ערכים שבה העמודה הראשונה היא ווקטור הזמן ועמודות 2,3,4 הן ווקטורי הפתרונות v1, v2 ו- i3.

6. פתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות (המשך) דוגמא לשימוש בנוסחאות רונגהקוטה מסדר 4 ללא שימוש ב ODE45. קוד התכנית מצורף בנספח א'. This program uses R-K of order 4 step size = dt/1 = 0.01 estimated error < Inf time in seconds = 3.5 step size = dt/2 = 0.005 estimated error < 0.00105452582235 time in seconds = 6.9 step size = dt/4 = 0.0025 estimated error < 0.00101011464799 time in seconds = 13.8 step size = dt/8 = 0.00125 estimated error < 0.00053596520172 time in seconds = 27.6 ERROR LIMIT SATISFIED

7. מתנד CHUA – מסכימה חשמלית למשוואות חסרות מימדים Gb E E • CHUA בסיסי המורכב מרכיבים ליניאריים – נגדים, קבלים וסליל ומרכיב לא ליניארי – דיודת CHUA - NR Gb • על הפונקציה f לקיים את התנאים הבאים: • פונקציה רציפה • מחולקת לשלושה תתי קטעים לינאריים (לפחות) ע"י נקודות לא גזירות. • סימטריה אי זוגית.

8. מתנד CHUA – מסכימה חשמלית למשוואות חסרות מימדים (המשך) • ע"י החלפת המשתנים עוברים לצורה מקובלת יותר של המערכת שהיא צורה חסרת מימדים ומנורמלת: • משוואות המצב של מעגל זה מושפעות משבעה פרמטרים שיוצרים מגוון רחב של דפוסי התנהגות למערכת. • יתרונות משוואות חסרות מימדים – חסרות יחידות (וטוב שכך - לא נוח לעבוד עם מיקרו ונאנו). נוחות לעבודה גם למי שאינו מגיע מתחום האלקטרוניקה.

9. כאוס במתנד CHUA – רגישות לתנאי התחלה • כמוכר במערכות כאוטיות, שתי נקודות קרובות מאוד יכולות להתפצל למסלולים שונים. שינוי תנאי ההתחלה ל

10. כאוס במתנד CHUA – מסלולים הומוקליניים והטרוקליניים – Homoclinic & Heteroclinic Orbits • מסלול הומוקליני זהו מסלול שבו גם כיוון הלוך וגם חזור עוברים דרך אותה נקודת שיווי משקל מסוג אוכף • לעומת זאת במצב שיש שתי נקודות שיווי משקל שונות, אחת לכיוון הלוך והשנייה לחזור המצב מתאר מסלול הטרוקליני.

11. כאוס במתנד CHUA – הכפלה מחזורית לכאוס - Period-doubling route • הכפלה מחזורית לכאוס היא משפחה כאוטית שבה הדרך לכאוס היא מאוד הדרגתית, פיצול אחר פיצול. • כאשר נקודת שיווי המשקל מאבדת את יציבותה ונוצר מסלול מעגלי חסום – מתרחש תהליך שנקרא ביפורקציית אנדרונוב הופף (Andronov-Hopf). • הפיצולים מתרחשים בזה אחר זה (עם שינוי פרמטר נבחר) ובכל פעם נוצר מעגל חסום נוסף עם מחזור חדש. • בדוגמא המובאת להלן הפרמטר R (נגד) ישתנה בין הערכים 1.1628K ל 1.0005K. [World Scientific, EleanoraBilotta, PietroPantano-A gallery of Chua attractors..P8]

12. כאוס במתנד CHUA – הכפלה מחזורית לכאוס - Period-doubling route(המשך) עבור המערכת תגיע לשני מושכים– DOUBLE SCROLL. עבור מסלול מעגלי חסום: עבור התכנסות לנקודת שבת:

13. כאוס במתנד CHUA– "קריסת טורוס" ((Torus breakdown • דרך זו מגיעה לכאוס דרך מספר ביפרקציות מסוג אנדרונוב הופף בהן נקודת שיווי המשקל מאבדת את יציבותה ונוצר מסלול מעגלי חסום • לאחר שתי ביפורקציות מסוג זה אנו מקבלים מושך טבעתי. בביפורקציה השלישית נראה כי המערכת הגיעה למצב כאוטי. • בדוגמא המובאת להלן הפרמטר ישתנה בין הערכים 0.3nF ל 0.0266nF. [World Scientific, EleanoraBilotta, PietroPantano-A gallery of Chua attractors..P10]

14. כאוס במתנד CHUA– "קריסת טורוס" ( (Torus breakdown(המשך) עבור נקבל מושך טבעתי: עבור נקבל מצב יציב - מסלול מעגלי חסום עבור נקבל מצב כאוטי יציב:

15. כאוס במתנד CHUA – ערבוב (Intermittency) • במצב זה מתחילים ממצב מחזורי ולאחר מיכן שכמתווספות הקפיצות הלא מחזוריות המצב הופך לכאוטי. • עם שינוי הפרמטר הנבחר, דומיננטיות הכאוס פוחתת והחלק המחזורי מתגבר. • בדוגמא המובאת להלן הפרמטר L ישתנה בין הערכים 0.21mH ל 0.38mH. [World Scientific, EleanoraBilotta, PietroPantano-A gallery of Chua attractors..P12]

16. כאוס במתנד CHUA – ערבוב (Intermittency)(המשך) עבור נראה התחזקות של האזור המחזורי והחלשות האזור הכאוטי. עבור נקבל מסלול כאוטי משולב במסלול מחזורי עבור נקבל מצב יציב - מסלול מעגלי חסום

17. שימוש בפולינום ממעלה שלישית – CUBIC FUNCTION: • מתנד CHUA עשיר בתופעות מעניינות בין היתר הודות לייחודיות החלק הלא לינארי, הפונקציה f • פונקציה אי זוגית זו הינה פונקציה רציפה אך לא חלקה - piecewise linear ושתי נקודות השבר יצרו עניין רב בעבר, בקרב החוקרים, בשל היותן האחראיות, לכאורה, לתופעות הכאוטיות. • נעסוק בפונקציה בעלת חוסר ליניאריות קלה גם לפונקציה זאת מימוש פיזיקלי. • בדוגמא המובאת להלן נחקור את המודל חסר המימדים עם פרמטר α שמשתנה בין הערכים 1.1225 ל 3.5.

18. שימוש בפולינום ממעלה שלישית – CUBIC FUNCTION: (המשך) עבור נקבל מעגל חסום עבור נקבל מעגל חסום

19. שימוש בפולינום ממעלה שלישית – CUBIC FUNCTION: (המשך) עבור 3.2> α >1.8 נקבל שרשרת פיצולים וב – 3.2= α נקבל שני מושכים Double-Scroll:

20. שימוש בפונקציות f בעלות n מושכים: • בשימוש הפונקציה f הלינארית למקוטעין נוכל לייצר מספר רב יותר של מושכים ע"י תוספת של תתי קטעים לינאריים נוספים. • אם נתייחס לפונקציה f כפונקציה מתמטית בלבד (כמודל חסר מימדים) נוכל למצוא פונקציות נוספות שמתנהגות דומה ויוצרות מספר רב של מושכים. • נתייחס למערכת הבאה:

21. שימוש בפונקציות f בעלות n מושכים:(המשך) מערכת זאת מייצרת n מושכים שנקבעים ע"י . הפרמטר d נקבע לפי n– אם n אי זוגי אז ערכו יהיה , אחרת ערכו 0. נקבל שלושה מושכים כאוטיים

22. רשתות נוירונים עצביות: CNN – Cellular neural network • CNNהוא תחום מאוד פופולרי שהתפתח ממעגל CHUA. אך כאן יש פחות מתמטיקה ויותר אלקטרוניקה, לכן לא ארחיב כאן. • זהו מודל מתמטי לרשתות הנוירונים במוח. במוח אנושי ישנם במקורב נוירונים, בעלי חיבורים לכל נוירון. זמן המיתוג לכל נוירון הינו בערך 0.001 שניות. בזמן עיבוד סצנה ספציפית במוח מתבצעים עיבודים רבים במקביל. • CNN הוצגה לראשונה ע"י Leon Chua בשנת 1988 בתור מערך גדול של תאים אנלוגיים לא ליניאריים. כל תא מתקשר עם שכניו הצמודים אך יכול להשפיע בעקיפין על שכנים מרוחקים. • כל תא מכיל כל הפרמטרים במתנד CHUA רגיל פרט לסליל.

23. רשתות נוירונים עצביות: CNN – Cellular neural network(המשך) • לכל תא יש כמה מקורות זרם מבוקרים מתח. ומקור מתח מבוקר מתח הנמצא במוצא התא ומתפקד באמצעות הפונקציה : • מקור מתח המוצא שולט שמקורות הזרם המבוקרים מתח של תאים סמוכים באופן הבא: • CNN נמצאים כיום בשימוש רחב בחומרה בפתוח מעבדי CNN בטכנולוגיות VLSI. גם תחום התוכנה כיום עשיר במודלים שמדמים מערכות כאלה ובונים איתם אפליקציות של בינה מלאכותית ועיבוד אותות.

24. S(t) r(t) S'(t) + - Message Signal Reciever Chaos Generator Transmitter Chaos Generator הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות • מתנד CHUA וכאוס בכלל משמשים לצרכי הצפנה. בשימוש זה מאפננים אות מידע ידוע בתוך גל נושא כאוטי. • במצב זה אות המידע אינו ניתן לגילוי כיוון שאת האות הכאוטי אי אפשר "לנחש" או לחזות ללא ידע מוקדם לגבי המערכת הכאוטית שיצרה אותו. • בהמשך לאותו אות מידע מאופנן כאוטית יש מקלט אשר יוכל לפענח את האות המקורי. המקלט יוכל לשחזר את האות המקורי אם ורק אם הוא בעצמו מערכת כאוטית זהה לזאת שבמשדר ומסונכרנת עמה.

25. הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות (המשך) • סנכרון המערכות הכאוטיות מתבצע ע"י הנגד Rc. יש כמובן שיטות נוספות אך נתמקד בשיטה זו. • לצורך הבנת המערכת יש לדמיין שתי מערכות כאוטיות זהות שיכולות לעבוד בנפרד אם הנגד Rc גדול מאוד, ואז הקשר ביניהם שואף לנתק. או בסנכרון אם ערכו נמוך יותר • בשימוש חוקי כירכהוף נרכיב את ששת המשוואות הבאות. יש לציין כי הסנכרון יכול להתבצע על פי כל אחד ממשתני המצב V1,V2,I3.

26. הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות (המשך) נתחיל מהמצב בו שתי המערכות ותנאי ההתחלה זהים לחלוטין. ערכו של

27. הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות (המשך) כעת נשנה את ליצירת סנכרון ונשנה משמעותית את תנאי ההתחלה נשנה את אחד מתנאי ההתחלה ל ונראה יציאה מובהקת מסנכרון

28. הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות (המשך) • במערכת פיזיקלית אמתית יהיה קשה מאוד למצוא שני רכיבים באמת זהים ותכונותיהם הפיזיקליות עלולות להשתנות תוך כדי עבודתם כתלות בטמפרטורה למשל. • באיורים הבאים ניכר שינוי רב יותר, גם בתנאי ההתחלה וגם בחוסר דיוק הרכיבים הלינאריים וערכיהם הוסתו עד כדי 5%.

29. בניית מתנד CHUA מוחשי • זהו אמנם פרויקט במתמטיקה, אך בתור מהנדס אלקטרוניקה רציתי לבנות את המעגל ולהשוות עם תוצאות הסימולציה. • המעגל נבנה בתכנת PSPICE ומוצג כאן זמן ריצה של 15ms.

30. סיכום: • קצרה היריעה מלהכיל את תכנם של אלפי מאמרים על מעגל אחד. • מתנד CHUA הוא ללא ספק מודל לכאוס ולייצור תופעות מגוונות במערכות דינאמיות • מתמטיקאים ממשיכים בחקירת הגאומטריה של המושכים המוזרים שמעגל זה יוצר, במציאת פונקציות לא לינאריות נוספות ועוד... • מומחים ממשיכים למצוא בתכונותיו הכאוטיות שימושים נוספים בתחומים שונים כמו בעיבוד אותות, במוזיקה וביצירת תמונות מרהיבות. • בפרויקט זה היה לי העונג לחזור "לספסל הלימודים" ולשקוד על מחקרים מרתקים. • השילוב בין מתמטיקה לאלקטרוניקה בפרויקט זה הוא ייחודי כיוון שהפעם האלקטרוניקה היא זו ששימשה את המתמטיקה בביסוס תופעה אבסטרקטית כמו כאוס.

31. סיכום: • כאוס נשמע לי בהתחלה כמו תחום מאוד תיאורטי ולא פרקטי. אך מסתבר שיש סדר ושליטה בתוהו ובואו (למרות שלא פשוט להגיע אליו). • מעניין לראות שמערכות דינמיות רבות בעולמנו מתנהגות לפי פרמטרים דומים לאותו מתנד פשוט. כך ניתן לראות בתמונה משמאל – שימוש בדיאגרמת פאזה לניתוח כלכלי. • DOUBLE SCROLL כמעט מושלם. [http://www.bentamari.com/PicturesEcometry/articals07-ChaosAndEconomics.pdf - page 4]

32. סוף