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第4章 组合逻辑设计原理

数字逻辑设计及应用. 第4章 组合逻辑设计原理. 逻辑代数基础 组合电路分析 组合电路综合. 基本概念. 逻辑电路分为两大类： 组合逻辑电路 （ c ombinational logic circuit） 时序逻辑电路 （ sequential logic circuit）. 任何时刻的输出仅取决与当时的输入. 电路特点：无反馈回路、无记忆元件. 任一时刻的输出不仅取决与当时的输入， 还取决于过去的输入序列. 4.1 开关代数. 1、 公 理

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第4章 组合逻辑设计原理

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  1. 数字逻辑设计及应用 第4章 组合逻辑设计原理 逻辑代数基础 组合电路分析 组合电路综合 制作：金燕华

  2. 基本概念 逻辑电路分为两大类： • 组合逻辑电路（combinational logic circuit） • 时序逻辑电路（sequential logic circuit） 任何时刻的输出仅取决与当时的输入 电路特点：无反馈回路、无记忆元件 任一时刻的输出不仅取决与当时的输入， 还取决于过去的输入序列 制作：金燕华

  3. 4.1 开关代数 1、 公 理 • 若X  1, 则X = 0 若X  0, 则X = 1 • 0’ = 1 1’ = 0 • 0·0 = 0 1+1 = 1 • 1·1 = 1 0+0 = 0 • 0·1 = 1·0 = 0 1+0 = 0+1 = 1 F = 0 + 1 · ( 0 + 1 · 0’ )’ = 0 + 1 · 1’ = 0 制作：金燕华

  4. 变量和 常量的 关系 变量和 其自身 的关系 2、单变量开关代数定理 • 自等律：X + 0 = X X · 1 = X • 0-1 律：X + 1 = 1 X · 0 = 0 • 还原律：( X’ )’ = X • 同一律：X + X = X X · X = X • 互补律：X + X’ = 1 X · X’ = 0 制作：金燕华

  5. 3、二变量或三变量开关代数定理 与普通代数相似的关系 • 交换律 A · B = B · A A + B = B + A • 结合律 A·(B·C) = (A·B)·C A+(B+C) = (A+B)+C • 分配律 A·(B+C) = A·B+B·C A+B·C = (A+B)·(A+C) 可以利用真值表证明公式和定理 制作：金燕华

  6. 几点注意 • 不存在变量的指数 A·A·A  A3 • 允许提取公因子 AB+AC = A(B+C) • 没有定义除法 if AB=BC  A=C ?? 错！ A=1, B=0, C=0 AB=AC=0, AC • 没有定义减法 if A+B=A+C  B=C ?? 错！ A=1, B=0, C=1 制作：金燕华

  7. 一些特殊的关系 • 吸收律 X + X·Y = X X·(X+Y) = X • 组合律 X·Y + X·Y’ = X (X+Y)·(X+Y’) = X • 添加律（一致性定理） X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z (X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z) = (X+Y)·(X’+Z) 制作：金燕华

  8. 代入定理： 在含有变量 X 的逻辑等式中，如果将式中所有出现 X 的地方都用另一个函数 F 来代替，则等式仍然成立。 对上述的公式、定理要熟记，做到举一反三 A + A’ = 1 (X+Y) + (X+Y)’ = 1 X·Y + X·Y’ = X (A’+B)·(A·(B’+C)) + (A’+B)·(A·(B’+C))’ = (A’+B) 制作：金燕华

  9. 证明： X·Y + X’·Z + Y·Z = X·Y + X’·Z Y·Z = 1·Y·Z = (X+X’)·Y·Z X·Y + X’·Z + (X+X’)·Y·Z = X·Y + X’·Z + X·Y·Z +X’·Y·Z = X·Y·(1+Z) + X’·Z·(1+Y) = X·Y + X’·Z 制作：金燕华

  10. 4、n变量定理 • 广义同一律 X + X + … + X = X X · X · … · X = X • 香农展开定理 制作：金燕华

  11. 证明： A·D + A’·C + C·D + A·B’·C·D = A·D + A’·C = A · ( 1·D + 1’·C + C·D + 1·B’·C·D ) + A’ · ( 0·D + 0’·C + C·D + 0·B’·C·D ) = A · ( D + C·D + B’·C·D ) + A’ · ( C + C·D ) = A·D·( 1 + C + B’·C ) + A’·C·( 1 + D ) = A·D + A’·C 制作：金燕华

  12. (A · B)’ = A’ + B’ (A + B)’ = A’ · B’ 4、n变量定理 • 摩根定理 —— 反演定理 制作：金燕华

  13. 反演规则： • 与或，0  1，变量取反 • 遵循原来的运算优先次序 • 不属于单个变量上的反号应保留不变 • 合理地运用反演定理能够将一些问题简化 例1：写出下面函数的反函数 F1 = A · (B + C) + C · D F2 = (A · B)’ + C · D · E’ 例2：证明 (A·B + A’·C)’ = A·B’ + A’·C’ 制作：金燕华

  14. 证明：AB + AC = AB + AC (A+B)(A+C) AB + AC + BC = AB + AC AC + AB + BC AA +AC + AB + BC AC + AB 合理地运用反演定理能够将一些问题简化 制作：金燕华

  15. 5、对偶性 FD(X1 , X2 , … , Xn , + , · , ’ ) = F(X1 , X2 , … , Xn , · , + , ’ ) • 对偶规则 • 与或；0  1 • 变换时不能破坏原来的运算顺序（优先级） • 对偶原理 • 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等 例：写出下面函数的对偶函数 F1 = A + B · (C + D) F2 = ( A’·(B+C’) + (C+D)’ )’ X + X · Y = X X · X + Y = X X + Y = X X · ( X + Y ) = X 制作：金燕华

  16. A(B+C) AB+AC 5、对偶性 • 对偶规则 • 与或；0  1 • 变换时不能破坏原来的运算顺序 • 对偶原理 • 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等 证明公式：A+BC = (A+B)(A+C) 制作：金燕华

  17. 对偶和反演 对偶：FD(X1 , X2 , … , Xn , + , · , ’ ) = F(X1 , X2 , … , Xn , · , + , ’ ) 反演： [ F(X1 , X2 , … , Xn , + , · ) ]’ = F(X1’, X2’, … , Xn’, · , + ) [ F(X1 , X2 , … , Xn) ]’ = FD(X1’, X2’, … , Xn’) 正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系 制作：金燕华

  18. 数字逻辑设计及应用 第4章 组合逻辑设计原理 逻辑代数基础 组合电路分析 组合电路综合 制作：金燕华

  19. 4.1 开关代数内容回顾 1、公理 2、单变量开关代数定理 3、二变量或三变量开关代数定理 需要特别记忆： A + B·C = (A+B)·(A+C) A·B + A’·C + B·C = A·B + A’·C 补充：代入定理 制作：金燕华

  20. 4.1 开关代数内容回顾 4、n变量定理 • 广义同一律 • 香农展开定理 • 摩根定理（反演） • 对偶 X + X + … + X = X X · X · … · X = X 制作：金燕华

  21. 4.1 开关代数内容回顾 4、n变量定理 • 广义同一律 • 香农展开定理 • 摩根定理（反演） • 对偶 与或，0  1 变量取反 与或，0  1 [ F(X1 , X2 , … , Xn) ]’ = FD(X1’, X2’, … , Xn’) 制作：金燕华

  22. A G1 F B 电气功能表 正逻辑约定 负逻辑约定 A B F A B F A B F L L L L H L H L L H H H 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 正逻辑约定和负逻辑约定互为对偶关系 正逻辑： F = A·B 负逻辑： F = A+B 制作：金燕华

  23. 真值表 C A B C Y A 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Y B 逻辑函数 A & B Y ≥1 C 逻辑图 逻辑函数及其表示方法 举重裁判电路 开关ABC 1表闭合 指示灯 1 表亮 0 0 0 0 0 1 1 1 Y = F (A,B,C ) = A·(B+C) 制作：金燕华

  24. “积之和”表达式 “与-或”式 A B C B’·C A’·B·C’ Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 逻辑表达式  真值表 Y = A + B’·C + A’·B·C’ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 制作：金燕华

  25. “和之积”表达式 “或-与”式 A B C B’+C A’+B+C’ Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 逻辑表达式  真值表 Y = (B’+C) · (A’+B+C’) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 制作：金燕华

  26. B C F A 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 真 值 表 真值表  逻辑表达式 F = A’·B·C + A·B’·C + A·B·C’ “积之和”表达式 “与-或”式 A’·B·C 乘积项： A·B’·C 0 反变量 1 原变量 A·B·C’ 制作：金燕华

  27. G B C F A 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 真 值 表 0 原变量 1 反变量 真值表  逻辑表达式 F = A’·B·C G = (A+B’+C’) (A’·B·C)’ = A+B’+C’ 制作：金燕华

  28. 0 原变量 1 反变量 B C F A 求和项 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 真 值 表 真值表  逻辑表达式 A+B’+C “和之积”表达式 “或-与”式 A’+B+C F = (A+B’+C) · (A’+B+C) 制作：金燕华

  29. 乘积项 B C A 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 6、逻辑函数的标准表示法 • 最小项 —— n变量最小项是具有n个因子的标准乘积项 • n变量函数具有2n个最小项 • 全体最小项之和为1 • 任意两个最小项的乘积为0 A’·B’·C’ A’·B’·C A’·B·C’ A’·B·C A·B’·C’ A·B’·C A·B·C’ A·B·C 制作：金燕华

  30. 求和项 B C A 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 6、逻辑函数的标准表示法 • 最大项 —— n变量最大项是具有n个因子的标准乘积项 • n变量函数具有2n个最大项 • 全体最大项之积为0 • 任意两个最大项的和为1 A+B+C A+B+C’ A+B’+C A+B’+C’ A’+B+C A’+B+C’ A’+B’+C A’+B’+C’ 制作：金燕华

  31. 最 小 项 A B C 编号 最 大 项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 A+B+C A+B+C’ A+B’+C A+B’+C’ A’+B+C A’+B+C’ A’+B’+C A’+B’+C’ A’·B’·C’ A’·B’·C A’·B·C’ A’·B·C A·B’·C’ A·B’·C A·B·C’ A·B·C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 制作：金燕华

  32. B C F G A 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 标号互补 最大项与最小项之间的关系 (A’·B·C)’ = A+B’+C’ Mi = mi’ (A·B’·C)’ = A’+B+C’ mi = Mi’ (A·B·C’)’ = A’+B’+C 制作：金燕华

  33. 最大项与最小项之间的关系 ①、Mi = mi’ ； mi = Mi’ ； ②、某逻辑函数 F，若用 P项最小项之和表示， 则其反函数 F’ 可用 P 项最大项之积表示， 两者标号完全一致。 ③、一个n变量函数，既可用最小项之和表示， 也可用最大项之积表示。两者下标互补。 制作：金燕华

  34. B C F A 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 课堂练习：分别写出下面逻辑函数的 最小项之和 最大项之积 的表示。 开集 闭集 制作：金燕华

  35. 标准和 标准积 6、逻辑函数的标准表示法 • 真值表 • 乘积项、求和项 • “积之和”表达式 • “和之积”表达式 • 标准项（normal term） • n 变量最小项 • n 变量最大项 —— 最小项之和 —— 最大项之积 制作：金燕华

  36. 用标准和的形式表示函数：F(A,B,C) = A·B +A’·C 利用基本公式 A + A’ = 1 F(A,B,C) = A·B + A’·C = A·B·(C+C’) + A’·C·(B+B’) = A·B·C + A·B·C’ + A’·B·C + A’·B’·C = A,B,C(1,3,6,7) 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 制作：金燕华

  37. G(A,B,C) = (A+B) · (A’+C) = (A+B+C·C’) · (A’+C+B·B’) = (A+B+C)·(A+B+C’)·(A’+B+C)·(A’+B’+C) 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 = A,B,C(0,1,4,6) 制作：金燕华

  38. 异或 —— 当两个输入相异时，结果为1。 同或 —— 当两个输入相同时，结果为1。 异 或 A B F A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 同 或 补充：同或、异或 F = AB =A’·B+A·B’ AB = (A⊙B)’ F = A⊙B =A·B+A’·B’ 制作：金燕华

  39. 基本公式 —— 异或 • 交换律：AB = BA • 结合律：A(BC) = (AB)C • 分配律：A·(BC) = (A·B)(A·C) • 因果互换关系 AB=C  AC=B  BC=A ABCD=0  0ABC=D 制作：金燕华

  40. 1 变量为1的个数是奇数 A0  A1  …  An = 0 变量为1的个数是偶数 基本公式 —— 异或 • 变量和常量的关系 AA=0 AA’=1 A0=A A1=A’ • 多变量异或运算 —— 结果取决于变量为 1 的个数 制作：金燕华

  41. 基本公式 —— 同或 • 交换律：A⊙B = B⊙A • 结合律：A⊙(B⊙C) = (A⊙B)⊙C • 不满足分配律：A(B⊙C) ≠ AB⊙AC • 因果互换关系 A⊙B=C  A⊙C=B  B⊙C=A 制作：金燕华

  42. 1 变量为0的个数是偶数 A0⊙A1⊙ … ⊙An = 0 变量为0的个数是奇数 基本公式 —— 同或 • 变量和常量的关系 A⊙A=1 A⊙A’=0 A⊙1=A A⊙0=A’ • 多变量同或运算 —— 结果取决于变量为0的个数 制作：金燕华

  43. 异或和同或的关系 • 偶数个变量的同或和异或 —— 互反 AB = (A⊙B)’ ABCD = (A⊙B⊙C⊙D)’ • 奇数个变量的同或和异或 —— 相等 ABC = A⊙B⊙C • AB’ = A⊙B AB = A⊙B’ 制作：金燕华

  44. A’ A B’ F B 4.2 组合电路分析 • 给出组合电路的逻辑图，分析电路的功能 —— 通过获得逻辑函数的形式来分析 (A’·B’)’ (A·B)’ F = [ (A’·B’)’ · (A·B)’ ]’ = A’·B’ + A·B = AB 制作：金燕华

  45. 数字逻辑设计及应用 第4章 组合逻辑设计原理 逻辑代数基础 组合电路分析 组合电路综合 制作：金燕华

  46. 1 1的个数是奇数 A0  A1  …  An = 0 1的个数是偶数 1 0的个数是偶数 A0 ⊙ A1 ⊙ … ⊙ An = 0 0的个数是奇数 4.1 开关代数内容回顾 • 基本公理、定理 • 对偶、反演 • 补充：同或、异或 制作：金燕华

  47. A =1 Y B A Y B A = Y B A Y B 4.1 开关代数内容回顾 • 基本公理、定理 • 对偶、反演 • 补充：同或、异或 • 逻辑函数及其表示方法 真值表  逻辑函数 制作：金燕华

  48. F1 F2 F3 B C F A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 真 值 表 = + + 为什么是最小项之和？ 制作：金燕华

  49. F1 F2 F3 B C F A 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 真 值 表 = ·· 为什么是最大项之积？ 制作：金燕华

  50. F1 = (A,B,C) ( 1, 5, 7, 9, 13 ) F2 = (A,B,C) ( 2, 6, 9, 13, 15 ) 逻辑函数的基本运算 • 相加（或） • 相乘（与） • 反演 F = F1 + F2 = (A,B,C)(1,2,5,6,7,9,13,15) F = F1 · F2 = (A,B,C) (9,13) F1’ = (A,B,C) ( 1, 5, 7, 9, 13 ) = (A,B,C) ( 0,2,3,4,6,8,10,11,12,14,15 ) 制作：金燕华

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