第三章地图的数学基础

第三章地图的数学基础

地图投影 • 坐标网 • 球面坐标系（大地坐标系） • 平面直角坐标系（高斯平面直角坐标系） • 比例尺

第二节地图投影 为什么学习地图投影？ • 建立平面坐标系的需要 • 制图的需要 • 简化计算的需要

一、地图投影的概念 地图投影依据一定的数学法则，将不可展的地球曲面运用特定的数学方法展示到平面上，最终在地表面点与地图平面点之间建立一一对应的关系 (x,y) (B, L) 实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。

二、地图投影的变形 第一，纬线长度不等。赤道最长；纬度愈高，纬线越短；极地的纬线长度为零。第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等。第三，所有的经线长度都相等。在同一条经线上，纬差相同的经线弧长相等（在地球椭球面上，纬差相同的经线弧长虽不完全相等，但相差很小）。

1. 变形的概念 • 长度变形 • 面积变形 • 角度变形

2.变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比

微小圆→变形椭圆 代入： X2 + Y2 = 1，得该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。

特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m；纬线方向 n 据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 m·n·sinq = a·b 统称主方向

3.长度比和长度变形 • ①长度比 (distance scale)：= ds’/ds • 经纬线投影后为垂直时: m=a或b,n=b或 a 。 • 经纬线投影后不垂直时: m2+n2=a2+b2 mnsinθ = ab • ②长度变形(distortion distance)：v=-1 长度比是变量，随位置和方向的变化而变化

4、面积比P: P = dF’/dF = a·b 或 P = m ·n ·sinθ 面积变形(area distortion): 面积比与1之差 VP=p-1

5.角度变形(angular distortion)：地面上某一角度投影前角值与其投影后的角值’之差，即-  ’。以ω表示角度最大变形 sin  /2=(a-b)/(a+b)

设A点的坐标为（x、y），A′点的坐标为(x′ 、y′ )，则

将上式两边各减和加tana即： 将两式相除，得：

显然当（a +a′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：以w表示角度最大变形：若已知m, n, q，则：

三、地图投影方法 1.几何投影法地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。

X = rs -rcosδ r= f() Y = rsin dd= c·l —— 以正轴圆锥投影为例经线投影为放射直线，经差l 与投影面上d成正比：d = c·l（c为圆锥系数，0 < c < 1）。纬线投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度  的函数， r= f（）。圆锥投影的一般公式为： 2.数学解析法

等角投影条件：ω=0，m=n，构成 经移项、积分、整理得：

四、投影的分类 • 1、按变形性质分类等角投影 ω = 0 θ = 900 a = b或m=n

等面积投影 Vp = 0 P = ab = 1 a = 1/b 或 b=1/a

任意投影 等距投影 : m =1或n = 1

2、根据地图投影的构成方法分类 ①几何投影——源于透视几何学原理按投影面分类： • 方位投影 • 圆柱投影 • 圆锥投影

按投影方式分类 • 正轴 • 横轴 • 斜轴

②非几何投影——根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。②非几何投影——根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。 • 伪方位投影 • 伪圆柱投影 • 伪圆锥投影 • 多圆锥投影

小结 • 地图投影 • 变形类型 • 长度（最主要变形） • 面积 • 角度 • 变形椭圆 • 极值长度比a、b • 经纬线长度比m、n • 分类 • 按变形性质分（等角a=b或m=n、等积a=1/b、任意） • 按投影构成 • 几何（按投影面-圆锥/圆柱/方位、按投影方式-正轴/横轴/斜轴） • 解析(伪圆锥/伪圆柱/伪方位) 思考：经纬线网投影后仍然正交的一定是等角投影吗？等角投影投影后经纬线一定正交吗？

第三节圆锥投影、多圆锥投影、伪圆锥投影 一、圆锥投影（一）基本概念

（二）基本公式及变形分布规律 • 1、基本公式 • 极坐标公式：=f() ，=c • 直角坐标公式: x=s-cos，y=sin 圆锥投影需要决定的函数形式 0<c<1 圆锥投影 c = 1 方位投影 c=0 圆柱投影

（二）圆锥投影的变形分布规律 • 1、基本公式 • m=- d/(R d) • n= c/(Rcos ) • p=mn • sin/2 = |(m - n)/(m + n)| = (a - b)/(a + b)

2、变形分布规律 • 各种变形都是纬度的函数，与经度无关 • 也就是说，圆锥投影的各种变形都是随纬度的变化而变化，在同一条纬线上各种变形的数值各自相等。 • 因此：等变形线与纬线平行，呈同心圆弧状分布。

切圆锥投影：相切的纬线是没有变形的线，称为标准纬线切圆锥投影：相切的纬线是没有变形的线，称为标准纬线 • 从标准纬线向南、北方向变形逐渐增大 • 割圆锥投影：有两条相切的纬线是标准纬线 • 之间，纬线长度比 < 1; • 之外：〉1; • 离标准纬线越远，变形越大。

3、适用地区 • 适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图。 • 世界上广大陆地位于中纬度地区，圆锥投影的经纬线网形状简单，所以被广泛应用

（三）、正等角圆锥投影 • 1. 等角条件 • m=n 或 a=b  = 0; • m=- d/(R d) • n= c/(Rcos ) • - d/(R d) = c/(Rcos ) • - d /c = (R d) /(Rcos )

2、变形规律 • 等角割圆锥投影：有两条相切的纬线是标准纬线——无变形 • 角度无变形 • 之间，纬线长度比 < 1;经线也《1 • 之外：〉1; 经线也〉1 • 离标准纬线越远，变形越大。 • 向北变形比向南变形快

3、应用： • 新编1：100万地形图（边伟与中纬变形绝对值相等的-80度——+84度） • 1：400万、1：600万挂图 • 全国性的普通地图和专题地图。 • 世界上许多国家如法国、比利时、西班牙都曾采用此投影作为地形图的数学基础。 • 西方国家的许多挂图、地图集

（四）、等面积圆锥投影 • 1、条件：面积无变形 P = m*n = 1； m = 1/n或n = 1/m;

2、变形规律：等积割圆锥投影： • 有两条相切的纬线是标准纬线——无变形 • 面积无变形 • 之间，纬线长度比 < 1;经线〉1 • 之外：〉1; 经线也《1 • 离标准纬线越远，变形越大。

3、应用 • 编制全国性的社会经济地图中的行政区划图、人口密度图、土地利用图等

（五）、等距圆锥投影 • 1、条件： • 沿经线长度比为1； • 即m = 1;

2、变形规律：等距割圆锥投影： • 有两条相切的纬线是标准纬线——无变形 • 经线长度无变形 • 离标准纬线越远，变形越大。 • 之间，纬线长度比 < 1;面积比P《1；面积变形向负方向增加 • 之外：〉1; 面积比P〉1；面积变形向正方向增加

3、应用 • 我国不多见，但在前苏联曾用此投影出版了苏联全图

（六）、几种圆锥投影变形性质的图形判别 • 1、共同特征： • 经线：放射状直线，夹角相等 • 纬线：同心圆弧 • 2、变形性质不同，经线长度比就不同，表现出的纬线间隔变化就不同。 • 纬差相等的经线间隔从中心向南北增大——等角 • 纬差相等的经线间隔从中心向南北减小——等积 • 纬差相等的经线间隔相等——等距

小结 • 圆锥投影 • 1、概念（理解）、基本公式（了解） • 经纬网基本形状 • 纬线：同心圆圆弧 • 经线：射线 • 经纬线正交 • 2、基本变形分布规律及应用（掌握） • 基本公式：（了解） • 变形规律：（理解） • 各种变形都是纬度的函数，与经度无关，等变形线与纬线平行 • 切圆锥：标准纬线上 n = 1；之外 n 〉1 • 割圆锥：标准纬线上 n = 1；之外 n 〉1 ；之间 n<1 • 应用：中纬度沿纬线延伸的区域（和等变形线延伸方向相似，容易控制变形）（理解）

3、圆锥投影分类（掌握） • 等角（Lambert）（m=n） • 变形规律 • 割圆锥：标准纬线上 n = 1；之外 n >1 m>1 之间 n<1 m<1 • 经纬线形状特点：标准纬线之外纬线间隔大（相同纬差）标准纬线之外纬线间隔小（相同纬差） • 应用：我国新编1：100万地形图 • 等积（大家总结） • 等距 • 4、三种圆锥投影的图形判别（掌握）

二、多圆锥投影 • （一）、概念 • 原因：标准纬线越多,变形就会越小.

纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上；纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上； • 除中央经线外，其他经线投影为对称于中央经线的曲线。 • 凡是经纬线符合上述特征的都属于多圆锥投影。

第三章 地图的数学基础