Вейвлеты и банки фильтров

1. Лектор: Лукин Алексей Сергеевич Вейвлетыи банки фильтров

2. План • Вейвлеты и их связь с банками фильтров • Непрерывное вейвлет-преобразование • Дискретное вейвлет-преобразование • Квадратурные зеркальные фильтры • Пирамидальное представление данных • Банки фильтров: DFT, MDCT • Применения банков фильтров • Аудиоэффекты • Шумоподавление • Компрессия звука и изображений

3. Понятие вейвлета • Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии ψa,b(t)(«дочерние вейвлеты») некоторой быстро затухающей осциллирующей функции ψ(t)(«материнского вейвлета») • Используются для изучения частотного состава функций в различных масштабах и для разложения/синтеза функций в компрессии и обработке сигналов

4. Понятие вейвлета • Условия, обычно накладываемые на ψ(t): • Интегрируемость • Нулевое среднее, нормировка • Нулевые моменты (vanishing moments)

5. Понятие вейвлета • Примеры вейвлетов Mortlet Meyer Mexican hat

6. Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) • Скалярные произведения исследуемой функции f(t) с вейвлетами ψa,b(t)

7. Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) • Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 раза • Возможность построения ортогонального преобразования • Дискретный вейвлет: • Последовательность чисел • Ортогональна своим сдвигам на четное число точек • Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), ортогональная вейвлету

8. Преобразование Хаара • Простейший случай вейвлет-преобразования Дан входной сигнал x[n] Образуем от него последовательности полусумм и полуразностей: Легко видеть, что сигнал x[n] можно восстановить: Такое кодирование избыточно: из одной последовательности получаем две

9. Преобразование Хаара • Устранение избыточности Проредим полученные последовательности в 2 раза: Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления: (интерполяция нулями) (фильтрация) (суммирование)

10. Коэффициенты H2 ↓2 ↑2 G2 x[n] x’[n] + H1 ↓2 ↑2 G1 Декомпозиция (анализ) Реконструкция (синтез) Дискретное вейвлет-преобразование • Обобщение преобразования Хаара Свойство точного восстановления (PR): Количество информации не изменяется. Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное восстановление.

11. Дискретное вейвлет-преобразование • ПрореживаниеВЧ-сигнала • Интерполяция ВЧ-коэффициентов до ВЧ-сигнала ↓2 ↑2

12. Дискретное вейвлет-преобразование • Квадратурные зеркальные фильтры (QMF) частотные характеристики импульсные характеристики

13. Дискретное вейвлет-преобразование • QMF: базис Хаара Плохое частотное разделение, но хорошая временная (пространственная) локализация

14. Дискретное вейвлет-преобразование • Условия точного восстановления: • Рассмотрим случай • h1[m] – симметричный, четной длины • В этом случаетребуется, чтобы • Построение PR-вейвлетов: • Нужна хорошая пространственная локализация – берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты Добеши) • Нужна хорошая частотная локализация – свойству PR удовлетворить трудно. Поэтому строим QMF со свойством «почти PR».

15. Дискретное вейвлет-преобразование • Построение «почти PR»-фильтров большого размера с хорошим частотным разделением: • Строим симметричный НЧ-фильтр h1[m] методом оконного взвешивания. • Нормируем его коэффициенты: • Строим дополняющий его ВЧ-фильтр h2[m]: • Проверяем величину искажений по суммарной частотной характеристикеи пробуем изменить частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.

16. Коэффициенты H2 ↓2 x[n] H1 ↓2 H2 ↓2 H1 ↓2 Пирамидальное представление • Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ-коэффициентов Одномерный случай Частотный диапазон делится на октавы Двумерное вейвлет- преобразование на каждом шаге получаем 4 набора коэффициентов: НЧ («основные») и ВЧ («детализирующие»)

17. Банки фильтров • Банки фильтров (гребенки фильтров) – преобразования, разбивающие сигнал на несколько частотных полос • С точным восстановлением? • С увеличением количества информации? • Пример: дискретное вейвлет-преобразование • Еще пример: оконное преобразование Фурье (STFT – Short Time Fourier Transform)

18. Применения: • Раздельная обработка сигнала в разных частотных полосах • Компрессия сигналов с независимым квантованием в разных частотных полосах • Пример банка фильтров, основанного на STFT • Декомпозиция: STFT с окном Хана (Hann), ис перекрытием между окнами 75% • Синтез: обратное DFT от каждого блока, применение весовых окон Хана и сложение окон с наложением (OLA) • Свойства: • Точное восстановление • Наличие избыточности Банки фильтров

19. f f t t Оконное ДПФ Вейвлеты Банки фильтров • Как банки фильтров разбивают частотно-временную плоскость? • Вейвлеты делят частотную ось на октавы • STFT разбивает частотную ось равномерно

20. 0 N 2N t Банки фильтров, основанные на STFT • Без весовых окон, без перекрытия блоков • Размытие спектра → плохое разделение частот в каналах • Разрывы сигнала на границах блоков при синтезе • Нет избыточности • С весовыми окнами, с перекрытием блоков • Хорошее разделение частот в каналах • Нет разрывов на границах блоков при синтезе • Избыточность – + + –

21. Банки фильтров, основанные на STFT • Модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT) • Перекрытие 50%, весовое окно • Неплохое разделение частот в каналах • Без избыточности! → подходит для компрессии • Каждое окно длины 2N захватывает N новых отсчетов и выдает N вещественных коэффициентов спектра • Требования к окнам: • Примеры подходящих окон: • Полпериода синуса • Kaiser-Bessel derived (KBD) +

22. Банки фильтров, основанные на STFT • Частотно-временное разрешение • Способность различать детали по частоте и по времени, «размытость» спектрограммы • Для STFT определяется длиной весового окна (а также, отчасти, размером и шагом DFT по времени) • Соотношение неопределенностей:разрешение по частоте обратно пропорционально разрешению по времени 6 ms 12 ms 24 ms 48 ms 96 ms размер окна

23. Банки фильтров, основанные на STFT • Частотно-временное разрешение • Частотное разрешение спектрограммы равномерное • Частотное разрешение слуха на НЧ выше, чем на ВЧ STFT,окно 12 мс STFT, окно 93 мс

24. Банки фильтров:достоинства и недостатки • STFT • DWT + Очень быстрая реализация для большого числа полос. Слишком различающееся число осцилляций базисных функций, эффект Гиббса. – + Возможность произвольных разбиений F-T плоскости. Малое число частотных полос. Плохое частотное разделение между полосами. –