第三章函数极限

1. 第三章函数极限 § 1 函数极限概念 §2 函数极限的性质 § 3 函数极限存在的条件 § 4 两个重要极限 § 5 无穷小量与无穷大量 阶的比较

2. 3.1函数极限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况： 一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势， 二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势

3. 通过上面演示实验的观察: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 问题:

4. 1、定义：

5. 2、另两种情形:

6. 3、几何解释:

7. 例1 证

8. 例2 0X0当|x|X时有|f(x)A| 证明 分析

9. 例3 证明 证 故不妨设|x|＞1， 而当|x|＞1时

11. y 4 x o 1 二、自变量趋向有限值时函数的极限 先看一个例子 这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1 时f(x)的极限。

13. 典型形式与定义 因 果

14. 定量刻画之一：远近 刻画远近的工具——距离 因 果

16. 定量刻画之二：越来越近 刻画越来越近——动态刻画 越来越 越来越

17. 逻辑刻画

18. 1、定义：

19. 注意： 2、几何解释:

20. 目的：对任意的e>0, 要找d>0，使得 0<|x-x0|<d 时，有 |f(x)-A|<e. 即 A-e< f(x) <A+e. 函数极限的演示 这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求! 哈哈, d 找到了! d d d d

21. 例4 e>0d>0当0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e  证明因为e>0d>0当0|x-x0|d 时, 都有 |f(x)-A||c-c|0e , 分析: |f(x)-A||c-c|0. e>0 d>0 当0|x-x0|d 时, 都有|f(x)-A|e .

22. 例5 e>0d>0当0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e  证明 因为e 0 d e 当0|xx0|d 时有 |f(x)A||xx0|e 分析 |f(x)A||xx0| e >0 要使|f(x)A|e 只要|xx0|e .

23. 例6 e>0d>0当0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e  证明 因为0 /2 当0|x1|时有 |f(x)A||(2x1)1|2|x1|e  分析 |f(x)A||(2x1)1|2|x1| e >0 要使|f(x)A|<e 只要|x1|<e /2

24. 例7 e>0d>0当0<|x-x0|<d有|f(x)-A|<e  因为e >0 =e 证明 当0|x1|d 时有 分析 注意函数在x=1是没有定义的但这与函数在该点是否有极限并无关系 要使|f(x)A|<e e >0 只要|x1|e

25. 例8 证

26. 例9证明 证 不妨设

27. 注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。

28. 3.单侧极限: 例如,

29. x 的运动形态及关系： 固定点

30. 左极限 右极限

31. 必要性， 证 , , 由 , 使得当 ，特别地当 时， 有 . 时，有 ，故 同理当 时，也有 , 故 . , , 由 , 充分性， 使得当 时， 有 ，

32. 又由 ， 使得当 ， 时，有 , 当 . 令 时，有 ， 故 .

33. 例10 证 左右极限存在但不相等,

34. 演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！ 无穷远点与有限点的关系 ● 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点 这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点 ● ● ● ●

35. ● ● ● ● ● 演示表明：由于在圆周上看，顶点和A点本质上是一样的，因此x0处的运动和无穷远处的运动也是一样。因此

36. 6种

37. 函数极限的种类： 24

38. 极限定义举例：

40. 思考题

41. 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在.

42. 函数极限的统一定义 (见下表)

43. 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后

44. 三.小结 (1), 自变量趋于有限值时函数的极限; (2), 自变量趋于无穷大时函数的极限; (3), 函数极限的几何意义; (4), 单侧极限的概念; (5), 应用函数极限的定义验证函数极限的方法;