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主讲 : 关秀翠

东 南 大 学 线 性 代 数 课 程 讲 座. 从 Dürer 魔方 跨入 线性代数思维之门. 主讲 : 关秀翠. 东南大学数学系. 4. 向量空间 的应用. 什么是 Dürer 魔方. 一、应用背景. Dürer 魔方 ： 4 阶，每一行之和为 34 ，每一列之和为 34 ，对角线（或次对角线）之和是 34 ，每个小方块中的数字之和是 34 ，四个角上的数字加起来也是 34. 版画创造时间： 1514 年. 该魔方出现在德国著名的艺术家 Albrecht Dürer 于 1514 年创造的版画 Melancolia 。. 多么奇妙的魔方！.

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Presentation Transcript

  1. 东 南 大 学 线 性 代 数 课 程 讲 座 从Dürer魔方跨入线性代数思维之门 主讲: 关秀翠 东南大学数学系

  2. 4. 向量空间的应用 什么是Dürer魔方 一、应用背景 Dürer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34. 版画创造时间：1514年 该魔方出现在德国著名的艺术家 Albrecht Dürer于1514年创造的版画Melancolia。 多么奇妙的魔方！

  3. 4. 向量空间的应用 什么是Dürer魔方 一、应用背景 4阶Dürer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和. 和为48. 铜币铸造时间：1514年 多么奇妙的魔方！ 你想构造Dürer魔方吗？ Dürer魔方有多少个？ 如何构造所有的Dürer魔方？

  4. 4. 向量空间的应用 什么是Dürer魔方 一、应用背景 4阶Dürer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和. A= B= 设A,B是任意两个Dürer 魔方， A+B 是Dürer魔方吗？  你想构造Dürer魔方吗？ Dürer魔方有多少个？ 如何构造所有的Dürer魔方？ 对任意实数k，kA 是Dürer魔方吗？ 

  5. 4. 向量空间的应用 一、应用背景 允许构成魔方的数取任意实数 松驰问题的讨论 任意两个Dürer魔方的任意的线性组合仍是Dürer魔方。 记 D={A=(aij)R4×4|A为Dürer魔方} 将A看成16维列向量，则D构成一个向量空间，称为Dürer魔方空间. 设A,B是任意两个Dürer 魔方， 你想构造Dürer魔方吗？ Dürer魔方有多少个？ 如何构造所有的Dürer魔方？ 无穷多个 A+B 是Dürer魔方吗？  求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Dürer魔方. 对任意实数k，kA 是Dürer魔方吗？ 

  6. 求Dürer魔方空间的基 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。

  7. 求Dürer魔方空间的基 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。 1 1 Q1= 1 1 1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8

  8. 求Dürer魔方空间的基 1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8

  9. 求Dürer魔方空间的基 显然， Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？

  10. 求Dürer魔方空间的基 Q1,…,Q8线性相关 显然， Dürer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？

  11. 求Dürer魔方空间的基 Q1,…,Q8线性相关 由 线性无关。 Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示. Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？

  12. 构造Albrecht Dürer的数字魔方 = = Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示. Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？

  13. 随心所欲构造Dürer魔方 = = dij 16 所得的线性方程组有个方程？个变量？ 23 如何求解该线性方程组呢？ Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示. Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？

  14. 第四章 n维向量 §4.5 线性方程组的解的结构 随心所欲构造Dürer魔方 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 = (dij) 16维变量 y A = Ary=0 r y (A,E)=0

  15. 第四章 n维向量 §4.5 线性方程组的解的结构 >> A=[11 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; …0 0 0 0 1 1 0]; %变量r对应的系数矩阵 >> C=[A,-eye(16)];%系数矩阵(A,E ) >> C1=rref(C) %求行最简形 C1= d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1-1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1-1-10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 1 -1-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 00

  16. 第四章 n维向量 §4.5 线性方程组的解的结构 随心所欲构造Dürer魔方 = (dij) 16维变量 y Ary=0 r y (A,E)=0 自由变量可取为d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44

  17. 第四章 n维向量 §4.5 线性方程组的解的结构 随心所欲构造Dürer魔方 %程序mymagic.m %输入d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44，得到整个Dürer魔方 >> d=input('please input a vector [d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]:') >> A=[11 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; …0 0 0 0 1 1 0]; %变量r对应的系数矩阵 >> C=[A,-eye(16)];%系数矩阵(A,E ) >> x=null(C,‘r’); %求齐次方程组的基础解系 >> y=d(1)*x(:,1)+d(2)*x(:,2)+d(3)*x(:,3)+d(4)*x(:,4) +d(5)*x(:,5)+d(6)*x(:,6)+d(7)*x(:,7);%基础解系的线性组合 >> y=y(8:23,:);%y为16维魔方向量 >> D=vec2mat(y,4,4) %将y转化为4阶魔方阵 >>mymagic please input a vector [d24,d32,d34,d41,d42,d43,d44]: [6 3 15 20 09 12 7]

  18. 赋予魔方更大的威力吧！ 还不够随心所欲？ 自由变量的选取不唯一 (3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值. 12 5 8 6 11 4 6 7 10 (2)任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一组值，就可得唯一确定Dürer魔方的其他值.

  19. 赋予魔方更大的威力吧！ 还不够随心所欲？ 自由变量的选取不唯一 如何选取自由变量？ x+54 36 2 由x+26=3x+24. x+3 x+46 可得 x=1. x39 由d43+26=d43+62+d13. x+2 33 由x+26=x+24+d14. x (3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值. 12 5 8 6 11 4 6 7 10

  20. 赋予魔方更大的威力吧！ 还不够随心所欲？ 自由变量的选取不唯一 如何选取自由变量？ 55 36 2 由x+26=3x+24. 4 可得 x=1. -38 47 由d43+26=d43+62+d13. 3 33 1 由x+26=x+24+d14. (3)任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一确定Dürer魔方的其他值. 12 5 8 6 11 4 6 7 10

  21. 赋予魔方更大的威力吧！ 还不够随心所欲？ 能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？ 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 (1) 7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S 令H为主对角线和，N为付对角线和(类似于三阶行列式的对角线法则) 和为46. (2) 5维泛对角方的向量空间B: R=C=H=N 一维向量空间G = {rE,r∈R}，其中eij=1, i,j. (3) 要求所有数都相等: (4) 特别的，当r =0: 0维向量空间 {O}

  22. 赋予魔方更大的威力吧！ Dürer空间的子空间 能否将Dürer魔方“和相等”的限制再增强吗？ 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 (1) 7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S 令H为主对角线和，N为付对角线和. (2) 5维泛对角方的向量空间B: R=C=H=N (3) 要求所有数都相等: 一维向量空间G = {rE,r∈R}. (4) 特别的，当r =0: 0维向量空间 {O} 魔方空间 {O} G B D 维 数 0 1 5 7

  23. Dürer空间的子空间和扩张 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 (1) 7维Dürer魔方空间D：R=C=D=S (2) 5维泛对角方的向量空间B: R=C=H=N (3) 要求所有数都相等: 一维向量空间G = {rE,r∈R}. (4) 特别的，当r =0: 0维向量空间 {O} (5) 8维魔方空间Q：R=C=D (6) 10维魔方空间U：R=C (7) 16维数字空间M：数字可任意取值 魔方空间 {O} G B D Q U M 维 数 0 1 5 7 8 10 16

  24. 从Dürer魔方跨入线性代数思维之门 1. 培养化繁为简的思考模式 (3) 培养多角度看问题 2. 培养观察问题分析问题的能力 (4) 将结论作为条件倒退 (5) 利用精炼的语言比拟 3. 培养发散思维 (1) 转换思考角度，训练思维的求异性 4. 培养归纳总结的能力 (2) 探讨变换问题的条件

  25. 1. 培养化繁为简的思考模式 ——求Dürer魔方空间的基 凭空构造魔方空间的一组基是很难的 类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。 根据1的取法，确定了8个基本魔方Q1,…,Q8 但是，Q1,…,Q8线性相关，而任意7个都线性无关. 可取Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer魔方都可由其线性表示.

  26. 1. 培养化繁为简的思考模式 分阶段处理复杂问题的“水泵”思维——化繁为简

  27. 第一章 行列式和线性方程组的求解 §1.3 行列式的性质及计算 |A|= ai1Ai1+ai2Ai2+…+ ainAin, i=1,2, …, n. 定理1.2. 证明： = a11A11 (1) (2) = aijAij (3) = ai1Ai1+ai2Ai2+…+ ainAin.

  28. 4. 向量空间的应用 一、应用背景 2. 培养观察问题分析问题的能力 4阶Dürer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和. 你想构造Dürer魔方吗？Dürer魔方有多少个？ 如何构造所有的Dürer魔方？ 允许构成魔方的数取任意实数 任意两个Dürer魔方的任意的线性组合仍是Dürer魔方。 D={AR4×4|A为Dürer魔方} 构成Dürer魔方向量空间. 求Dürer魔方空间的一组基, 任意一个Dürer魔方都可由这组基线性表示.

  29. 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 ???? 十秒钟加数 • 请用十秒，计算出左边一列数的和。 时间到！ • 答案是 6710。

  30. “斐波那契数列” • 若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … … 意大利数学家斐波那契的《算盘书》（1202年）

  31. 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 ???? “十秒钟加数”揭密 • 数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的 11 倍！ • 右式的答案是： 610  11 = 6710

  32. Fibonacci兔子问题 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对(雌雄)兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？

  33. 解答 1 月1 对

  34. 解答 1 月 1 对 2 月 1对

  35. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对

  36. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对

  37. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对

  38. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对

  39. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对 7 月 13 对

  40. 2. 培养观察问题分析问题的能力 1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。 2）深入观察发现规律 ① 每月小兔对数 =上个月大兔对数. ② 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数. =上个月大兔对数 +上上个月大兔对数.

  41. 2. 培养观察问题分析问题的能力 1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。 2）深入观察发现规律 ① 每月小兔对数 =上个月大兔对数. ② 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数. =前两个月大兔对数之和.

  42. 2. 培养观察问题分析问题的能力 月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔子总数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 二阶递推公式 2）深入观察发现规律 ① 每月小兔对数 =上个月大兔对数. ② 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数. =前两个月大兔对数之和. Fn

  43. 2. 培养观察问题分析问题的能力 3）深入研究问题 二阶递推公式 由 可得

  44. 2. 培养观察问题分析问题的能力 3）深入研究问题 二阶递推公式 因此

  45. 生活中的斐波那契数 1） 花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。

  46. 2）树杈的数目 13 8 5 3 2 1 1

  47. 3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数 种子按顺、逆时针的螺线排列，两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55; 89和144; 144和233条螺线。

  48. 松果种子的排列的螺线数(8-13)

  49. 菜花表面排列的螺线数（5-8）

  50. 加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21,…………加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21,………… 4） 电路中的斐波那契数列

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