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第 2 课时 平面向量的基本定 理及其坐标表示

第 2 课时 平面向量的基本定 理及其坐标表示. 基础知识梳理. 1 ．平面向量基本定理 如果 e 1 和 e 2 是同一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内任一向量 a ，存在唯一的一对实数 a 1 ， a 2 使 a ＝ ，把不共线向量 e 1 ， e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 ，记为 叫做向量 a 关于基底 { e 1 ， e 2 } 的分解式．. a 1 e 1 ＋ a 2 e 2. { e 1 ， e 2 } ， a 1 e 1 ＋ a 2 e 2. 基础知识梳理. 2 ．正交分解

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第 2 课时 平面向量的基本定 理及其坐标表示

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Presentation Transcript

  1. 第2课时 平面向量的基本定 理及其坐标表示

  2. 基础知识梳理 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使a＝，把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式． a1e1＋a2e2 {e1，e2}，a1e1＋a2e2

  3. 基础知识梳理 2．正交分解 如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为 ，在正交基底下分解向量，叫做． 正交 基底 正交分解

  4. 基础知识梳理 3．向量坐标 设{e1，e2}为平面直角坐标系内的正交基底，由平面向量基本定理，对于平面上的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xe1＋ye2，我们把有序实数对(x，y)叫做向量 ，记作：，叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标．把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． a在基底{e1，e2} a＝(x，y) 下的坐标 x y

  5. 基础知识梳理 向量与它的坐标之间是什么关系？ 【思考·提示】向量与它的坐标之间是一一对应关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一． 思考？

  6. 基础知识梳理 4．向量的直角坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝ ，a－b，λa＝． (a1－b1，a2－b2) (a1＋b1，a2＋b2) (λa1，λa2)

  7. 基础知识梳理

  8. 三基能力强化 1．(2009年高考湖北卷改编)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则b＝() A．3a＋cB．3a－c C．－a＋3cD．a＋3c 答案：B

  9. 三基能力强化 A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 答案：B

  10. 三基能力强化 答案：A

  11. 三基能力强化 答案：8

  12. 三基能力强化 5．(教材习题改编)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则x＝________.

  13. 课堂互动讲练 1．以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 考点一 平面向量的基本定理及其应用

  14. 课堂互动讲练 提醒：由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底向量．

  15. 课堂互动讲练 例1

  16. 课堂互动讲练 M，设＝a，＝b，以a、b为基底表示.

  17. 课堂互动讲练

  18. 课堂互动讲练

  19. 课堂互动讲练

  20. 课堂互动讲练 【名师点评】(1)本题两次利用了共线的条件，并且注意方程思想的利用； (2)解决类似问题应重视平面几何知识的应用； (3)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，并熟练掌握．

  21. 课堂互动讲练 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 考点二 平面向量的坐标运算

  22. 课堂互动讲练 例2

  23. 课堂互动讲练 【思路点拨】　利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解．

  24. 课堂互动讲练

  25. 课堂互动讲练 【名师点评】　利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程组求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向不能写错．

  26. 课堂互动讲练 互动探究

  27. 课堂互动讲练

  28. 课堂互动讲练 两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa. 平面向量共线的坐标表示 考点三

  29. 课堂互动讲练 已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. 例3

  30. 课堂互动讲练 【思路点拨】

  31. 课堂互动讲练

  32. 课堂互动讲练

  33. 课堂互动讲练

  34. 课堂互动讲练

  35. 课堂互动讲练 例4 考点四 向量坐标运算的综合应用

  36. 课堂互动讲练 (1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限？ (2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

  37. 课堂互动讲练

  38. 课堂互动讲练

  39. 课堂互动讲练

  40. 课堂互动讲练 【思维总结】　利用设参数求参数是解决向量问题的常用技巧，这里方程(或方程组)是求解工具，体现了向量坐标运算的优越性．

  41. 课堂互动讲练 高考检阅

  42. 课堂互动讲练

  43. 课堂互动讲练

  44. 规律方法总结 1．向量的坐标表示 (1)对向量a＝(x，y)的理解 ①a＝xe1＋ye2(e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的单位向量)； ②若向量a的起点是原点，则(x，y)就是其终点的坐标．

  45. 规律方法总结

  46. 规律方法总结

  47. 规律方法总结 2．平面向量共线的坐标表示 (1)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)其中(b≠0)． a∥b的充要条件a＝λb与x1y2－x2y1＝0在本质上是相同的，只是形式上的差异． (2)要记准公式坐标特点，不要用错公式．

  48. 规律方法总结

  49. 随堂即时巩固 点击进入

  50. 课时活页训练 点击进入

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