导数的应用

1. 导数的应用

2. 2 2 3 3 设f(x)=x3- x2-2x+5. (1)求函数f(x)的单调递增、递减区间; (2)当x[-1, 2]时, f(x)<m恒成立, 求实数m的取值范围. 令f(x)<0得- <x<1; 令f(x)>0得x<- 或x>1. ∴y=f(x)的单调递减区间是(-, 1); 单调递增区间是(-∞, -)和(1, +∞). 令f(x)=0得x=-或1. ∵f(-1)=5 , f(-)=5 , f(1)=3 , 2 1 2 2 1 2 1 3 3 2 2 3 2 3 22 27 导数的应用举例1 解: (1)由已知f(x)=3x2-x-2, (2)命题等价于f(x)在[-1, 2]上的最大值小于m. f(2)=7, ∴f(x)在[-1, 2]上的最大值为7. 故实数m的取值范围是(7, +∞). ∴7<m.

3. 5 3 ∴x>-. 导数的应用举例2 已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1仅当x=-1, x=1时取得极值, 且极大值比极小值大4, 求a, b的值. 解: ∵f(x)=5x4+3ax2+b, 又当x=-1, x=1时f(x)取得极值, ∴f(1)=f(-1)=0. 即5+3a+b=0. ∴b=-3a-5. ① 代入f(x)得, f(x)=5x4+3ax2-3a-5=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)]. ∵仅当x=-1, x=1时f(x)取得极值, ∴5x2+(3a+5)0恒成立. ∴3a+5>0. 故当x<-1或x>1时, f(x)>0; 当-1<x<1时, f(x)<0. ∴当x=-1时, f(x)取得极大值; 当x=1时, f(x)取得极小值. ∴f(-1)-f(1)=4. ∵函数f(x)的极大值比极小值大4, 即(-1-a-b+1)-(1+a+b+1)=4. 整理得a+b=-3. ② 由①, ②得a=-1, b=-3. 故a, b的值分别为-1, -3.

4. 设函数f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数f(x)的单调区间、极值; (2)若当x[a+1, a+2]时, 恒有|f(x)|≤a, 试确定a的取值范围. 4 3 1 3 =- a3+b; 导数的应用举例3 解: (1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2, 令f(x)=0得x=a或x=3a. ∵0<a<1, ∴a<3a. 当x变化时, f(x), f(x)的变化情况如下表: 由上表可知, f(x)的单调递增区间是(a, 3a), 单调递减区间是(-∞, a)和(3a, +∞). 当x=a时, f(x)取极小值f(a) 当x=3a时, f(x)取极大值f(3a)=b.

5. 4 4 5 5 设函数f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数f(x)的单调区间、极值; (2)若当x[a+1, a+2]时, 恒有|f(x)|≤a, 试确定a的取值范围. 1 解得≤a≤1. 3 [ , 1). 导数的应用举例3 解: (2)∵0<a<1, ∴2a<a+1. ∴f(x)=-x2+4ax-3a2 在[a+1, a+2]上为减函数. ∴f(x)max=f(a+1)=2a-1, f(x)min=f(a+2)=4a-4. ∵当x[a+1, a+2]时, 恒有|f(x)|≤a, 即 -a≤f(x)≤a 恒成立. ∴4a-4≥-a且2a-1≤a. 又0<a<1, 故a的取值范围是

6. 2-f(-1) ∴| |=1且f(-1)<0. 1+2f(-1) 导数的应用举例4 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线 y=2x的夹角为45, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m的取值范围. ∴f(0)=0d=0. 解: (1)∵曲线y=f(x)=ax3+bx2+cx+d过原点, ∴f(x)=ax3+bx2+cx, f(x)=3ax2+2bx+c. ∵函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=0处取得极值, ∴f(0)=0c=0. ∵过点P(-1, 2)的切线斜率为f(-1)=3a-2b, 而曲线f(x)在 点P的切线与直线 y=2x的夹角为45, 且倾角为钝角, 解得f(-1)=-3. 又f(-1)=2, ∴3a-2b=-3且-a+b=2. 解得a=1, b=3. ∴f(x)=x3+3x2.

7. ∴[2m-1, m+1](-∞, -2]或[2m-1, m+1] [0, +∞). 1 1 解得m≤-3或≤m<2. 2 2 即m的取值范围是(-∞, -3]∪[ , 2). 导数的应用举例4 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线 y=2x的夹角为45, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m的取值范围. 又由f(x)>0x<-2或x>0, 解: (2)由(1)知f(x)=3x2+6x. ∴f(x)的单调递增区间为(-∞, -2]和[0, +∞). ∵函数f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, ∴2m-1<m+1≤-2或m+1>2m-1≥0.

8. 已知函数f(x)=x3-ax2-3x. (1)若f(x)在区间[1, +∞)上是增函数, 求实数a的取值范围; (2)若x=- 是f(x)的极值点, 求f(x)在[1, a]上的最大值; (3)在(2)的条件下, 是否存在实数b, 使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点, 若存在, 求出实数b的取值范围; 若不存在, 请说明理由. a 3 1 则必有≤1且f(1)=-2a≥0. 3 导数的应用举例5 解: (1)由已知f(x)=3x2-2ax-3. ∵f(x)在区间[1, +∞)上是增函数, ∴在[1, +∞)上恒有f(x)≥0, 即3x2-2ax-3≥0在[1, +∞)上恒成立. 由于f(0)=-3<0, 解得a≤0. 故实数a的取值范围是(-∞, 0].

9. (2)由题设f(- )=0, 即 + a-3=0. 令f(x)=0得x=- 或3. 2 1 1 1 3 3 3 3 解得a=4. ∴f(x)=3x2-8x-3. 在[1, 4]上, 当x变化时, f(x), f(x)的变化情况如下表: ∴f(x)在[1, 4]上的最大值是f(1)=-6. (3)函数 g(x)与 f(x)的图象恰有三个交点, 即方程x3-4x2-3x=bx恰有三个不等实根. ∵x=0是方程的一个根, ∴方程x2-4x-3=b即x2-4x-(3+b)=0有两个非零不等实根. ∴△=16+4(3+b)>0且3+b0. 解得b>-7且b-3. 故实数b的取值范围是(-7, -3)∪(-3, +∞).

10. 由①, ②解得a= , b=- . 由f(x)=0得, x=1或- . 当- <x<1时, 有f(x)<0. ∴当x<- 或x>1时, 有f(x)>0; 故f(x)的单调递增区间是(-∞, - )和(1, +∞); 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 3 3 3 f(x)的单调递减区间是(- , 1). 导数的应用举例6 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1, 试确定a, b的值, 并求出f(x)的单调区间. 即3a-2b=2. ① 解: 由已知可得: -1=f(1)=1-3a+2b, 又f(x)=3x2-6ax+2b, 即6a-2b=3. ② 0=f(1)=3-6a+2b, ∴f(x)=3x2-2x-1.

11. 导数的应用举例7 已知f(x)=x2+c, 且f[f(x)]=f(x2+1). (1)设g(x)=f[f(x)], 求g(x); (2)设(x)=g(x)-f(x), 试问: 是否存在实数, 使(x)在(-∞, -1)内为减函数, 且在(-1, 0)内是增函数. 解: (1)∵f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c. ∴由f[f(x)]=f(x2+1)得, c=1. ∴f(x)=x2+1, g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2. =x4+(2-)x2+2-. (2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1) ∴(x)=4x3+2(2-)x =2x(2x2+2-). ∵(x)在(-∞, -1)内为减函数, ∴(x)<0在(-∞, -1)内恒成立. 即2x2+2->0在(-∞, -1)内恒成立. ∴-2<2x2在(-∞, -1)内恒成立. ∵当x(-∞, -1)时, 2x2>2(-1)2=2, ∴-2≤2. ∴≤4. ①

12. 又∵(x)在(-1, 0)内为增函数, ∴(x)>0在(-1, 0)内恒成立. 即2x2+2-<0在(-1, 0)内恒成立. ∴-2>2x2在(-1, 0)内恒成立. ∵当x(-1, 0)时, 2x2<2(-1)2=2, ∴-2≥2. ∴≥4. ② 由①, ②知=4. 故存在实数, 其值为4, 使(x)满足题设条件.

13. 2 2 2 4 3 3 3 9 令f(x)=0得x1=0, x2= . ∴点( , +b)在函数图象上, 且在直线y=b的上方. 而f( )=- + +b= +b>b, 4 4 8 27 27 27 导数的应用举例8 已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a, bR).(1)若a=1, 函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方? 说明理由; (2)若函数f(x)在[0, 2]上是增函数, x=2是方程f(x)=0的一个根, 求证: f(1)≤-2; (3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1, 求a的取值范围. (1)解:当a=1时, 令x=-1得 f(-1)=1+1+b=2+b>b, ∴点(-1, 2+b)在函数图象上, 且在直线y=b的上方. ∴函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方. 另解:当a=1时, f(x)=-x3+x2+b, f(x)=-3x2+2x. ∴函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.

14. 2 2 3 3 令f(x)=0得x1=0, x2= a. ∴a≥2. 导数的应用举例8 已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a, bR).(1)若a=1, 函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方? 说明理由; (2)若函数f(x)在[0, 2]上是增函数, x=2是方程f(x)=0的一个根, 求证: f(1)≤-2; (3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1, 求a的取值范围. (2)证:∵x=2是方程f(x)=0的一个根, ∴f(2)=0即-8+4a+b=0b=8-4a. 又f(x)=-3x2+2ax, ∵函数f(x)在[0, 2]上是增函数, ∴a≥3. ∴f(1)=-1+a+b=7-3a≤-2, 即f(1)≤-2.

15. y1-y2 ∴ <1, x1-x2 -(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1-x2)(x1+x2) 亦即 <1恒成立. x1-x2 1 3 1 4 4 4 ∴ (x1+x2)2-a(x1+x2)+1≥0恒成立. 而x1x2< (x1+x2)2恒成立, -x13+ax12+b-(-x23+ax22+b) ∴1+(x1+x2)2-a(x1+x2)≥(x1+x2)2 恒成立. 即 <1, x1-x2 ∴- 3≤a≤ 3. 导数的应用举例8 已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a, bR). (3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1, 求a的取值范围. (3)解: 设P(x1, y1), Q(x2, y2)为曲线y=f(x)上任两点, x1x2. ∵曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1, ∵x1x2, ∴x1x2<1+(x1+x2)2-a(x1+x2)恒成立. ∴a2-3≤0.

16. y1-y2 ∴ <1, x1-x2 ∴- 3≤a≤ 3. 导数的应用举例8 已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a, bR). (3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1, 求a的取值范围. 另解: 设P(x1, y1), Q(x2, y2)为曲线y=f(x)上任两点, 不妨x1<x2. ∵曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1, ∵x1<x2, ∴x1-x2<0. ∴y1-y2>x1-x2. 即f(x1)-f(x2)>x1-x2. ∴f(x1)-x1>f(x2)-x2. 记g(x)=f(x)-x, 则g(x1)>g(x2). ∴g(x)为R上的减函数. ∴g(x)≤0即-3x2+2ax-1≤0对xR恒成立. ∴a2-3≤0.

17. 已知函数f(x)=( -1)2+( -1)2的定义域为[m, n), 且1≤m<n ≤2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明: 对任意x1, x2[m, n), 不等式|f(x1)-f(x2)|≤4 2-5恒成立. n n n n x x x x 2n x 1 x x x 解: 由题设f(x)=( + -1)2- +1. m m m m m m n 令t= + , 则t ≥2 =2 m n t= - . 由t>0得mn<x<n. ∴由t<0得m≤x< mn ; x2 2n ∵函数y=(t-1)2- +1在[1, +∞)上是增函数, m ∴f(x)在[m, mn)上是减函数, 在[ mn, n)上是增函数. ∴t(x)在[m, mn)上是减函数, 在[ mn, n)上是增函数. 导数的应用举例9 ∵1≤m<n≤2,x[m, n), >2,

18. 已知函数f(x)=( -1)2+( -1)2的定义域为[m, n), 且1≤m<n ≤2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明: 对任意x1, x2[m, n), 不等式|f(x1)-f(x2)|≤4 2-5恒成立. n x n (2)证: 由(1)知f(x)在[m, n)上的最小值为f( mn)=2( -1)2, m x n m 最大值为f(m)=( -1)2. m n n |f(x1)-f(x2)|≤( -1)2-2( -1)2 n m m n n =( )2-4 +4 -1. m m m n n ∵1≤m<n≤2,∴1< ≤2. m 令u= , h(u)=u4-4u2+4u-1. m 5-1 5+1 ∴1<u≤ 2. ∵h(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u+)(u- )>0, 2 2 ∴h(u)≤h( 2)=4-8+4 2-1 ∴h(u)在(1, 2]上是增函数. 故对任意x1, x2[m, n), |f(x1)-f(x2)|≤4 2-5恒成立. =4 2-5. 导数的应用举例9 ∴对任意的x1, x2[m, n), 有

19. 某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-x2, 且生产x吨的成本为R=50000+200x元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本) y=(24200-x2)x-(50000+200x) 由y=-x2+24000=0得 -2003+24000200-50000 =-x3+24000x-50000. 1 1 1 1 3 5 5 5 5 5 导数的应用举例10 解:设每月生产x吨的利润为y元, 则x≥0, 且 x=200(-200舍去). ∵在[0, +∞)上只有一个点x=200使y=0, ∴它就是最大值点, 且最大值为 =3150000(元). 故每月生产200吨产品时利润最大, 最大利润是315万元.

20. l-x ∴y= . 2 l-x ∴面积S=xy=x∙ S=-x+ . =-x2+ x. 2 S在(0, )内递增, 在( , l)内递减, 即Smax=- ( )2+  l l l l2 1 l l 1 l l l l l l l ∴x= 时, S取得极大值, 也是最大值. 此时, y= . = . 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 8 2 2 2 由S=0, 得x= . 故长, 宽分别为m, m时, 养鸡场面积最大. 导数的应用举例11 要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场, 现在铁丝网长为lm,只围三边, 另一边为一道墙, 问长和宽为多少时, 才能使所围养鸡场面积最大? y 解: 设长为xm, 宽为ym. 则x+2y=l. 由x, y均为正数得, 0<x<l. x ∵0<x<l, 注: 本题亦可用二次函数知识解答.

21. 已知某厂生产x件产品的成本为C=25000+200x+ x2(元), 问: (1)要使平均成本最低, 应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品? 1 1 40 40 25000+200x+ x2 则y= x 25000 x = + +200 x 40 1 (2)利润函数为L=500x-(25000+200x+ x2) 40 x 25000 ≥2  +200=250. L=300- x. x 40 =300x-x2-2500. 1 1 40 20 导数的应用举例12 解: (1)设平均成本为y(元), 当且仅当x=1000时取等号. 故要使平均成本最低, 应生产1000件产品. 令L=0 得x=6000, ∵当x<6000时, L>0; 当x>6000时, L<0, ∴当x=6000时, L取得最大值. 故要使利润最大, 应生产6000件产品.