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§3 格林公式、曲线积分与路径的无关性

第二十章 重积分. §3 格林公式、曲线积分与路径的无关性. §3 格林 (Green) 公式 . 曲线积分与路径无关的条件. 一 、格林公式. 二、简单应用. 三、曲线积分与路径无关的定义. 四、二元函数的全微分求积. 一、格林公式. 单连通与复连通区域. 设 D 为平面区域  如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D  则称 D 为平面单连通区域  否则称为复连通区域 . 区域的边界曲线的方向. 当观察者沿区域 D 的边界曲线 L 行走时  如果左手在区域 D 内  则行走方向是 L 的正向 . 单连通区域. 复连通区域. 下页.

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  1. 第二十章 重积分 §3格林公式、曲线积分与路径的无关性

  2. §3 格林(Green)公式.曲线积分与路径无关的条件 一 、格林公式 二、简单应用 三、曲线积分与路径无关的定义 四、二元函数的全微分求积

  3. 一、格林公式 • 单连通与复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 • 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向 单连通区域 复连通区域 下页

  4. 定理21.11 • 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数 则有 ——格林公式 其中L是D的取正向的边界曲线 >>> 应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向 定理证明 下页

  5. y E d D B A c C x a o b 证明(1)

  6. y E d D c C x o 同理可证

  7. D 两式相加得 证明(2)

  8. E C B D A 证明(3) G F 由(2)知

  9. y A x o B  二、简单应用 1. 简化曲线积分 L

  10. 例1. 计算 其中曲线 AB是半径为 r 的圆在第一象限部分. 解 设 D是半径为 r的圆域 在第一象限部分，设其边界为 L， 记 -L为边界的顺时针方向， 应用格林公式有

  11. y x o 2. 简化二重积分

  12. 解

  13. y L x o y x o

  14. y x o (注意格林公式的条件)

  15. 例2.计算 其中L为一无重点 且不过原点的分段光滑正向闭曲线. 解:令 时， 设 L 所围区域为D, 当 由格林公式知

  16. 在D 内作圆周 取逆时 针方向, l的顺时针方向记为 lˉ, 记 L 和lˉ所围的 区域为D1，对区域 D1应用格林公式 , 得

  17. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 例. 证 令 则 利用格林公式 , 得

  18. 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , 例. 计算 B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解:令 , 则 利用格林公式 , 有

  19. 例.计算 其中L 为上半 圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围区域为D , 则 原式

  20. 格林公式: • 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则 提示 在格林公式中 令PyQx则有 下页

  21. 格林公式: • 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则 例1求椭圆xacosq ybsinq所围成图形的面积A 解 设L是由椭圆曲线 则 下页

  22. 3. 计算平面面积

  23. 解

  24. 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 所围面积 例如, 椭圆

  25. y 1 L D x O -1 1 -1 格林公式的应用 从 证明了： （格林公式） 练习1 计算积分 其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。 ② ① 解 ④ ③

  26. y x O 练习2 求星形线 所界图形的面积。 解： 1 L D -1 1 -1 重要意义： 1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式 4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用 更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。

  27. 单连通 多连通 三、曲线积分与路线的无关性 单连通域, 多连通域,

  28. 函数 定理21.12设D 是单连通域, 在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (i) 沿D 中任意按段光滑闭曲线L , 有 (ii) 对D 中任一按段光滑曲线L, 曲线积分 与路径无关, 只与 L的起点及终点有关. (iii) 的全微分, 是 D 内是某一函数 即 (iv) 在 D 内处处成立

  29. 证明 (i) (ii) 设 为D 内任意两条由A 到B的有向分段光滑曲 则 线, (根据条件(i)) 所以

  30. 证明 (ii) (iii) 在D内取定点 因曲线积分 和任一点B( x, y ), 有函数 与路径无关, 则 同理可证 因此有

  31. 证明(iii) (iv) 设存在函数u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以 从而在D内每一点都有

  32. 证明(iv) (i) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 由条件(iv), 在 D 上处处成立 利用格林公式 , 得 证毕

  33. 由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数: 具有性质：d u = P dx + Q dy 称 u( x, y ) 为 P dx + Q dy在域 D 内的一个原函数.

  34. 。 。 例. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证:设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使

  35. 例 验证下列积分与路线无关，并求其值

  36. 内容小结 1. 格林公式 2. 曲线积分与路线无关的条件 设 P, Q在 D内具有一阶连续偏导数, 则有 在D内与路径无关. 对 D内任意闭曲线 L 有 在 D内有 在D内有

  37. 作业： P.231 1, 2, 5, 6

  38. y B G A x o 四、曲线积分与路径无关的定义 如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B以及 G内从点 A到点 B的任意两条曲线 L1，L2有

  39. （ⅲ）　　　　　是Ｄ内某一函数Ｕ的全微分，即（ⅲ）　　　　　是Ｄ内某一函数Ｕ的全微分，即 定理21.12 设开区域是一个单连通闭区域, 函数在内 具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价：

  40. = = =0 = 所以

  41. 设 为D内一定点， 为D内任意一点， 由（ⅱ）曲线积分 与路线的选择无关， 取 充分小，使 ，由于积分与路线无关 故当B(x,y)在D内变动时，其积分值是B(x,y)的函数，即有 故函数u(x,y)对于的偏增量

  42. 其中 ，由P(X,Y)在D上的连续性 = = 其中直线AB段平行于X轴由积分中值定理可得

  43. （ⅲ）（ⅳ）设存在U(X,Y)，使得 因P(X,Y),Q(X,Y)，在区域D内有连续的偏导数，所以

  44. 设L为D内任一按段光滑封闭曲线，记所围的区域为 ．由于为单连通区域，所以 于是，在 内 即在区域为 内曲线积分 从而在D内每一点处有 应用格林公式，有 与路径无关.

  45. 与路径无关 L

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