Protsentülesanded olümpiaadil

1. Protsentülesanded olümpiaadil Koostaja Rita Punning

2. Protsendi kasutusalad: • Maksud • Hinnad • Tööjõudlus • Õppeedukus • jne • Tulu • Kulu • Kasum • Kahjum

3. PROTSENT • ÜKS SAJANDIK TEVIKUST • 1% = 1/100

4. Osamäär • Osa ja terviku vahelist seost iseloomustatakse matemaatikas sageli ühe arvuga, mida nimetatakse osamääraks. • Osamäära arvutamiseks leitakse osa ja terviku jagatis. • Osamäär = osa : tervik

5. Klassis on 25 õpilast, nendest 15 tütarlast. Mitu % on tüdrukuid? • Tervik on 25 õpilast. • Osa on 15 tüdrukut. • Osamäär on 15:25=0,6 • ehk protsentides 0,6=60/100=60% • Vastus: Klassis on tüdrukuid 60%.

6. Osa = tervik  osamäär • 9.klassis on 30 õpilast. Täna puudus 20%. Mitu õpilast puudus? • 20% = 0,2 • 30  0,2 = 6 (õpilast) • Vastus: 6 õpilast puudus.

7. Tervik = osa : osamäär • Klassis on 12 poissi, mis moodustab 40% õpilaste üldarvust. Mitu õpilast on klassis? • 40% = 0,4 • 12 : 0,4 = 30 (õpilast) • Vastus: Klassis on 30 õpilast.

8. Ül. 1: Vorsti kilo maksis 36 krooni. Transpordikulud moodustavad 5% vorsti hinnast. Bensiini hinna tõstmine 25% võrra tõstis transpordikulusid 20% võrra. Missugune on vorsti uus hind? • Olgu vorsti hind ilma transpordikuludeta x kr • Transpordikulu 5% x-st ehk 0,05x • Vorsti hind koos transpordikuludega x + 0,05x = 1,05x = 36 (krooni) • x = 36 : 1,05 = 34,285 …  34,30 (krooni)

9. Vorsti kilo maksis 36 krooni. Transpordikulud moodustavad 5% vorsti hinnast. Bensiini hinna tõstmine 25% võrra tõstis transpordikulusid 20% võrra. Missugune on vorsti uus hind? • Vorsti hind ilma transpordikuludeta 34,30 krooni • Transpordikulud suurenesid 20% võrra • Leiame 20% 5%-st • 0,2 5% = 1% • Suurenes 1%  5% + 1% = 6% • Transpordikulud moodustavad 6% vorsti hinnast • 6% 34,30-st • 0,06 34,30 = 2,058  2,05 (krooni) • Uus hind: 34,30 + 2,05 = 36,35 (krooni) • Vastus: Vorsti uus hind on 36 krooni ja 35 senti.

10. Ül. 2: Kaks töölist väljusid üheaegselt samast majast ja läksid samasse tehasesse. Esimese samm oli 10% võrra lühem teise omast. Kuid see eest astus ta 10% võrra rohkem samme kui teine. Kumb tööline jõuab varem tehasesse? • Kui teise samm on 1 osa, siis esimese samm on 9/10 osa (10% võrra lühem). • Selle aja jooksul kui teine teeb 100 sammu, teeb esimene 110 sammu (10% võrra rohkem). • Teine liigub 100 sammuga 100  1 = 100 osa teest • Esimene aga 110 sammuga 110  9:10= 99 osa teest. • Vastus: Teine jõuab varem tehasesse.

11. Ül. 3: Kauba hinda alandati 10%. Mitu protsenti tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? • Olgu kauba hind x rahaühikut. • Uut hinda alandati 10% võrra, siis uus hind on x – 0,1x = 0,9x • a% alandati veel hinda (0,01a  0,9x), s.t. uus hind on 0,9x – 0,01a  0,9x = 0,9x – 0,009ax • Kuna kogu hinnaalandus oleks 28%, siis lõplik hind oleks x – 0,28x = 0,72x • Saame võrrandi: 0,9x – 0,009ax = 0,72x • -0,009ax = 0,72x – 0,9x • –0,009ax = –0,18x:(–0,009x)  a = 20 • Vastus: Teisel korral oleks vaja hinda alandada veel 20%.

12. Ül. 4: Laste kella hinda vähendati nii mitme % võrra, kui mitu krooni kell maksis enne hinna alandamist. Kui suur oli kella esialgne hind, kui tema uus hind on 24 krooni? • Kell maksku x krooni. • Hinda alandati x% võrra s.t. 0,01x x-st on 0,01x2. • Uus hind x – 0,01x2 = 24 100 • 100x – x2 = 2400  x2– 100x + 2400 = 0 • x1 = 40 x2 = 60 • Kontroll: Kell maksis 40 krooni, alandati 40%, st 0,4  40 = 16 (krooni) võrra, uus hind 40 – 16 = 24 (krooni). • Kell maksis 60 krooni, alandati 60%, st 0,6  60 = 36 (krooni) võrra, uus hind 60 – 36 = 24 (krooni). • Vastus: Laste kell maksis 40 krooni või 60 krooni.

13. Ül. 5: Metsas oli okaspuid 40% rohkem kui lehtpuid. Nüüd langetati 20% okaspuudest ja 12% lehtpuudest. Mitu protsenti oli pärast puude langetamist metsas okaspuid rohkem kui lehtpuid? • Olgu metsas x lehtpuud, okaspuid on 40% rohkem s.t. x + 0,4x = 1,4x • Okaspuudest langetati 20% 1,4x-st ehk 0,2  1,4x = 0,28x • Alles jäi 1,4x – 0,28x = 1,12x okaspuud. • Lehtpuudest langetati 12% x-st ehk 0,12x. • Alles jäi x – 0,12x = 0,88x lehtpuud. • Okaspuid on 1,12x – 0,88x = 0,24x võrra rohkem ehk 0,24x : 0,88x = 27,3% võrra rohkem. • Vastus: Pärast puude langetamist oli metsas 27,3% okaspuid rohkem kui lehtpuid.

14. Ül. 6: Kartuli müügihind suurenes juunis 20% võrra ning vähenes juulis juuniga võrreldes 20% võrra. Millal kartulid olid odavamad, kas mais või juulis ja mitme protsendi võrra? • Olgu mais kartuli hind x krooni (või mõni teine rahaühik). • Juunis suurenes 20% võrra, st. 0,2x võrra. Juunis maksis kartul x + 0,2x = 1,2x (krooni). • Juulis vähenes 20% võrra, st. 0,2  1,2x = 0,24x (krooni) võrra. • Juulis maksis kartul 1,2x – 0,24x = 0,96x (krooni). • Juulis olid kartulid x – 0,96x = 0,04x (krooni) odavamad kui mais ehk 0,04x:x=4% odavamad. • Vastus: Kartulid olid odavamad juulis 4% võrra.

15. Ül. 7: Vanemal vennal on 25% võrra rohkem raha kui nooremal. Mitu protsenti oma rahast peab andma vanem nooremale, et neil oleks raha ühepalju? • Olgu nooremal vennal x raha, vanemal vennal on x + 0,25x = 1,25x (raha). • Kokku x + 1,25x = 2,25x (raha). • Et raha oleks võrdselt on vaja see pooleks teha. • 2,25x : 2 = 1,125x (raha) peaks kummalgi olema. • Vanemal vennal on rohkem 1,25x – 1,125x = 0,125x (raha). • See on 0,125x:1,25x=10% rohkem. • Vastus: Vanem vend peaks andma nooremale oma rahast 10%, et neil oleks võrdselt raha.

16. Ül. 9: Mitu kilogrammi vett on vaja välja aurutada 0,5 tonnist tselluloosimassist, mis sisaldab 85% vett, et alandada veesisaldus 75%-le? • Tahket ainet on massis 100%-85%=15%, so. 0,15  0,5 t =0,075 t = 75 kg, • mis moodustab 100% – 75% = 25% uuest segust. • Et 25% on 75 kg, siis pärast aurutamist jääks segu järele 75 : 0,25 = 300 (kg). • Järelikult on tarvis välja aurutada 500 – 300 = 200 (kg). • Vastus: Tselluloosimassist on vaja välja aurutada 200 kg vett.

17. Ül. 10: Arvust lahutati 10% temast, seejärel 25% saadud jäägist ja siis veel 20% viimasest jäägist. Järele jäi 27. Leia esialgne arv. • Olgu arv x, 10% temast on 0,1x. • Arvust lahutati 10%, saadi x – 0,1x = 0,9x. • 25% jäägist on 0,25  0,9x = 0,225x, see lahutati saadud jäägist. • Viimane jääk on 0,9x – 0,225x = 0,675x. • Sellest võeti 20%, so. 0,2  0,675x = 0,135x, mis omakorda lahutati eelmisest jäägist, • Saadi 0,675x – 0,135x = 0,54x. • See on võrdne 27-ga.  0,54x = 27  x = 50 • Kontroll: 10% 50-st on 0,1  50 = 5, 50-st lahutati see, saadi 50 – 5 = 45. • 25% 45-st on 0,25  45 = 11,25, mis lahutati 45-st, saadi 45 – 11,25 = 33,75. • 20% 33,75-st on 0,2  33,75 = 6,75, mis lahutati 33,75-st, saadi 33,75 – 6,75 = 27. • Vastus: Esialgne arv oli 50.

18. Ül. 11: Arv a on 92% arvust b. Kui arvu b suurendada 700 võrra, siis on ta arvust a suurem 9% võrra (b + 700)-st. Leia arvud a ja b. • Arv a on 0,92b. Suurendame arvu b 700 võrra, saame b+700. • Leiame 9% (b + 700)-st, so. 0,09(b + 700). • b + 700 on arvust a ehk 0,92b-st 0,09(b + 700) võrra suurem, st. • b + 700 = 0,92b + 0,09(b + 700)  b+700=0,92b+0,09b +63 • b + 700 = 1,01b +63  0,01b = 637 • b = 6370 ning a = 0,92  6370 = 58604 • Kontroll: Suurendame arvu b 700 võrra, saame 6370 + 700 = 64400 • Leiame 9 % (b + 700)-st, so. 0,09  64400 = 5796 • ning 64400 on 58604-st 64400 – 58604 = 5796 võrra suurem. • Vastus: a on 58 604 ja b on 64 400.

19. Ül. 12:Toimetaja ja korrektori töötasuks kokku arvestatakse 5% raamatute müügi eest saadud rahast. Autor saab 10% kahest kolmandikust müügi eest saadud rahast. Kui suur on autori tasu, kui toimetaja ja korrektor said kumbki 3000 krooni? • Toimetaja ja korrektor said kokku 6000 krooni. • Olgu raamatute müügist saadud raha x krooni. • 5% x-st on 6000 krooni, • ehk 0,05x = 6000  x = 120 000 • Raamatute müügist saadi 120 000 krooni. • Autor sai 10% 2/3 120 000 kroonist, • 0,1  2/3  120000 = 8000 (krooni). • Vastus: Autori tasu oli 8000 krooni.

20. Ül. 13: Seebimullide, õhulosside ja juustuaukude vahendusfirma AS Mull tegevdirektor süüdistas müügijuhti laiskuses, väites et firma detsembrikuu müügimaht on oktoobriga võrreldes rohkem kui 10% võrra langenud. Müügijuht seevastu kirjutas oma kvartaliaruandes, et kuigi iga kuu esimeses pooles kahanes müük võrreldes eelmise kuu teise poolega 30% võrra, kasvas see iga kuu teises pooles võrreldes sama kuu esimese poolega 35% võrra. Kas tegevdirektor eksis, kui müügijuhi aruanne vastab tõele?

21. Olgu oktoobri esimesel poole müügimaht x, siis oktoobri teise poole müügimaht on sellest 35% võrra suurem ehk 1,35x • novembri esimese poole müügimaht on sellest omakorda 30% võrra väiksem ehk 0,7  1,35x = 0,945x. • Kuna kummagi terve kuu müügimaht on võrdne 1 + 1,35 = 2,35 korda vastava kuu esimese poole müügimahuga, siis võime järeldada, et ka terve novembrikuu müügimaht on võrdne 0,945 korda terve oktoobrikuu müügimahuga. • Et samasugune arutlus kehtib ka novembri- ja detsembrikuu jaoks, siis detsembrikuus müüs firma 0,9452 = 0,893025 korda niipalju kui oktoobris • järelikult vähenes müük oktoobriga võrreldes tõepoolest veidi rohkem kui 10% võrra. • Vastus: Tegevdirektoril oli õigus.