1 / 26

集合的基数

集合的基数. §9.1 集合大小的比较 — 等势与优势. 定义 9.1 集合的势是一个用来度量集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素越多。对两个集合 A 和 B ，如果存在从 A 到 B 的双射，就称 A 和 B 是等势的，记为 A ≈ B 。否则，称 A 与 B 不等势，记为 。 注： 1. 集合 A 与 B 等势当且仅当 A 的元素与 B 的元素一一对应。 2. 有些文献将 A 与 B 等势记为 A ~ B. 例 9.1 证明下列命题：. Z ≈ N ，其中 Z 和 N 分别是整数集和自然数集。

samson
Download Presentation

集合的基数

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 集合的基数

  2. §9.1 集合大小的比较 — 等势与优势 定义9.1集合的势是一个用来度量集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素越多。对两个集合A和B，如果存在从A到B的双射，就称A和B是等势的，记为A≈B。否则，称A与B不等势，记为 。 注： 1. 集合A与B等势当且仅当A的元素与B的元素一一对应。 2. 有些文献将A与B等势记为A~B.

  3. 例9.1证明下列命题： • Z≈N，其中Z和N分别是整数集和自然数集。 • N≈M，其中N是自然数集，M是非负的偶数集。 • N×N≈N，其中N是自然数集。 • N≈Q，其中N是自然数集，Q是有理数集。

  4. y <0, m+n> . <0, 3> <m, n> <0, 2> <0, 1> x  <0, 0> <1, 0> <2, 0> <3, 0> <m+n, 0> (3) N×N≈N，其中N是自然数集。为建立边N×N 的元素与N的元素间的一一对应，将N×N的元素排列在平面坐标系中，如右图。 按图中箭头所示的顺序从<0,0>出发数所有的点，便得到从N×N到N的如下对应 f :

  5. 一般地，设<m,n>是图上的一个点，我们来考察它所对应的自然数 f (<m,n>). 首先，<m,n>所在的斜线下方的点数为： 其次，<m, n>所在的斜线上按照箭头顺序位于<m, n>之前的点数有m个(可顺着x轴数)。故 易见 f 是 N×N 到 N 的一个一一对应。

  6. (4) N≈Q，其中N是自然数集，Q是有理数集。 为建立 N 到 Q 的双射，将所有有理数 (形为p/q，p, q为整数且 q >0 ) 按一定规律排成一张表(见教材 P169 图2)。然后按表中箭头所示顺序数所有有理数，在计数过程中，如果一个已被计数的数字重复出现，则跳过它继续计数后续的数字。这样就建立了 Q 到 N 的一一对应。从而 N≈Q。

  7. 例9.2证明下列命题： 证：

  8. 构造[0,1]与(0,1)间的一一对应如下：首先令 而 [0,1] 中其余的数自己对应自己，则得到一个双射函数 f : [0,1] →(0,1), 因此，[0,1] ≈ (0,1)。

  9. 例9.3设A为任意集合，证明：P(A)≈{0,1}A 证：

  10. 定理9.1 设A、B、C是任意集合 • (1) A≈A • 若A≈B，则B≈A • 若A≈B，B≈C，则A≈C • 证明留作练习。 • 这个定理说明，集合的等势关系满足自反性，对称性 • 和传递性，因而是一种等价关系。 • 注:由前面的例题可知: • N≈Z≈Q≈N×N; (0,1)≈[0,1]≈R。

  11. 定理9.2 (1)N≉R; (2) 对任意集合A, 都有A≉P(A). 证：(1) 由于R≈[0,1]，我们只需证明 , 为此只要能证明任何函数 f : N→[0,1]都不是满射即可。 对x∈[0,1], x总可写成 x=0.a1a2…, (ai是自然数且0≤ai≤9)的形式。设 f : N→[0,1]是从N 到[0,1]的任意一个函数，列出 f 的所有函数值: 构造数字 y=0.b1b2…, 其中 bi 是自然数, 0≤bi ≤9 且 bi≠ai(i) (i=1,2,…), 则 y∈[0,1], 但 y 与上述 f 的任何一个函数值都不相等, 故 y ran f , 这便说明 f 不是满射。

  12. 证: (2) 对任意集合A, 都有A≉P(A). 我们来证明任何函数 g: A→P(A)都不是满射。 设 g: A→P(A) 是从 A 到 P(A) 的函数。如果对x∈A, 都有 x∈g(x), 则Φ∈P(A) 在 g 下无原像，从而 g 不是满射。 下面假设 x∈A, 使x g(x), 此时, 集合 B={x| x∈A∧x g(x)} 非空, 且 B∈P(A). 但对 x∈A, 都有 x∈B x g(x). 由此可见，对x∈A, 都有 g(x) ≉B. 从而B在g下无原像.

  13. 定义9.2设A、B是集合, 若存在从 A 到 B 的单射，则称 B 优势 • 于A，记作 . 如果 但 , 则称 B 真优势于A, • 记作 . • 注：B 真优势于A，通俗地说，就是集合B大于集合A，即 B 含 • 元素的量多于A含元素的量。但应注意这并不是说 B 包含A . • 定理9.3 设A、B、C是任意集合，则 • 证明略

  14. §9.2 集合的基数 定义9.3设 A 为集合，如果存在自然数 n，使得从 A 到集合 {0, 1, … , n–1} 有双射，则称 A 是有限集。如果一个集合不是有限的，则称为无限集。 注：A 是有限集当且仅当A与某个自然数集{0, 1, …, n –1}等势。有时用n代表自然数集{0, 1, …, n–1}，因此一些文献上定义 A 是有限集当且仅当 A 与某自然数 n 等势。

  15. 定义9.4设A 为 无限集，若A到自然数集合 N={0,1, 2,…}有双射，则称A为无限可数集(或无限可列集)。有限集和无限可数集统称为可数集(或可列集)。 • 例如：A={a, b, c}，整数集Z，有理数集Q，N×N等都是可数集；但实数集R及与R等势的一切集合都不是可数集。 • 注： • A 是无限可数集当且仅当它与自然数集N={0,1,2,…}等势。 • 一些文献中将无限可数集称为可数集，而有限集不算作可数集。

  16. 定理9.4无限集合A为可数集的充分必要条件是A的全部元素可以排成无重复项的序列: a1, a2, …, an, …. 证：若A可排成上述形式，则将A的元素 an 与其下标 n 对 应，就得到 A 与自然数集N之间的一一对应，故A是 可数集。 反之，若A为可数集，则A的元素与自然数集 N 的元 素之间存在一一对应 f ，将与 n 对应的元素记为 an， 则 A 的元素可排列成的 a1, a2, …, an, … 的形式。

  17. 定理9.5任何无限集A必含有无限可数子集。 • 证：从A中任取一个元素，记为 a1，因 A 是无限集，故A－{a1} 仍是无限集，从 A－{a1} 中再取一个元素，记为 a2 . 一般地，记已取出 a1, a2, …, an，则因 A－{a1,a2,…,an} 仍是无限集，故可从A－{a1,a2,…,an}中再取出一个元素，记为an+1。如此继续，便可得到 A 的一个无限可数子集 M={a1, a2, …, an, …}。 • 定理9.6 (1) 可数集的任何子集都是可数集； • 两个可数集的并是可数集； • 两个可数集的笛卡尔积是可数集； • 可数个可数集的并是可数集； • 无限集A的幂集P(A)不是可数集。 • 证明略

  18. 定义9.5 (1) 对任何集合A, 其所含元素的量称为A的基数(势), 记为Card A。等势的集合有相同的基数(势) ； (2) 对于有限集A，A的基数(势)定义为它所含元素的个数； (3) 对于无限可数集A，其基数(势)用0表示，即Card A=0 (4) 所有与实数集合 R 等势的集合A，其基数 (势) 用表示，即 Card A= . 注：自然数集N及与N等势的一切集合的基数都为0 , 特别地，

  19. 定义9.6设A, B为集合, 若从 A 到B有一个单射, 则称Card A ≤ Card B, 即：Card A ≤Card B  A ≼ • B；若 Card A ≤Card B 且 Card A≠ Card B，则称 Card A＜Card B • 定理9.7(1) 对任何有限集A，Card A＜ • (2) 对任何无限集A， ≤Card A • (3) ＜ 证: (1) 设Card A= n , 则 A≈{0, 1, 2, …, n-1}. 定义函数 f : {0,1,2,…,n–1} → N， f (x)=x . 则 f 是单射，故 Card A≤ . 另一方面，设 g 是任意一个从{0, 1, 2, …, n –1} 到 N 的函数，记 则 k∈N，但对 x∈{0, 1, 2, …, n–1}. g(x)≠k，即 k 在g下 无原像， 故 g 不是满射。由g的任意性，不存在{0,1,2,…,n–1}到N的满射，故 Card A≠ ,从而Card A ＜ .

  20. 证（续）：

  21. 定理9.8 (Cantor定理)设A是集合，则Card A<Card P(A)。 证明：构造函数 f : A→P(A), f (x)=x , (x∈A). 易见 f 是一个单射，故 Card A≤Card P(A)； 另一方面，由定理9.2， ，故 Card A<Card P(A)。 注：由Cantor定理知，不存在最大的基数。 注：定理9.7 说明：

  22. 例9.4求下列集合的基数： • T={x|x是单词“baseball ”中的字母} • B={x|x∈R∧x2=9∧2x=8} • C=P(A), A={1,3,7,11} • 解：(1)∵ T={b, a, s, e, l }, 故 Card T = |T| = 5。 • (2)∵ B=Φ, 故 Card B = 0。 • (3) ∵ |A|=4, 故 Card C = Card P(A)= |P(A)| = 24 =16。

  23. 解法1: 令A={a0,a1,…}, B={b0, b1, …, bn–1}. 对<ai, bj>∈A×B和<ak , bl>∈A×B, 有 <ai, bj> = <ak , bl>  (ai = ak)∧(bj= bl)  (i=k)∧(j=l)。 定义 f : A×B→N, f (<ai, bj>) = i• n+j , ( i = 0,1, …; j=0,1, …, n–1)。 则可以检验 f 是 A×B 到 N 的双射函数，故 解法2: 因A和B都是可数集，由定理9.6，两个可数集的笛卡尔集 仍是可数集，故

More Related