《立体几何》详细讲解

《立体几何》 详细讲解 ——首都师范大学谈桫

目录第一章直线和平面第一节平面第二节空间两条直线第三节空间直线和平面第四节空间两个平面第二章多面体和旋转体第一节多面体第二节旋转体第三节多面体和旋转体的体积

基础知识 • 例题选讲 • 难点分析 • 要点小结 • 课后作业第二节空间两条直线返回

两条直线的位置关系 • 相交 • 平等 • 异面 • 平行直线 • 公理 • 定理 • 推论 • 两条异面直线所成的角 • 定义 • 两条异面直线互相垂直 • 两条异面直线的距离空间两条直线——基础知识返回

空间两条直线——要点小结（一） 两条直线的位置关系 b O  α a b a α a P  α b 继续

空间两条直线——要点小结（二） 平行公理平行共面等角定理推论两条直线的位置关系相交判定定理位置关系的判定定义反证法异面所成的角平移法度量关系距离公垂线段知识结构图返回

例1：证明空间两条直线是异面直线 • 例2：证明正方体中两条直线为异面直线 • 例3：不等式的证明 • 例4：两条异面直线垂直的证明 • 例5：求异面直线间的距离空间两条直线——例题选讲例题选讲返回

空间两条直线——基础知识 两条异面直线所成的角特例：两条异面直线互相垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线互相垂直。定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 • 概念分析 • 即学即用 • 融会贯通返回

空间两条直线——例题选讲 A 例3：如图所示，已知：AD和BC是异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，求证：MN<1/2（AD+BC） D M    N 证明： P 设BD的中点为P，连接PM、PN B C ∵ AM=MB，DP=PB 为什么说P点一定不在MN上呢？ ∴ MP=1/2AD ∵ DN=NC，DP=PB ∴ NP=1/2BC 反证法：假设P点在MN上  MN//AD MN//BC 根据平行公理  AD//BC 与已知条件不符所以 P点不在MN上在ΔMPN中，MN<MP+NP ∴ MN<1/2（AD+BC）返回

空间两条直线——课后作业 1．1. 如果a和b是异面直线，AB是它们的公垂线，直线c平行于AB，那么c 与a和b这两条直线交点的个数是： A. 0个 B. 1个 C. 最多一个 D. 最多两个提示：注意如果有两个交点会怎样。思路：假设其有两个交点，则分别和a、b相交，用反证法证明这不可能；然后举出例子说明其交点可能是0个，也可能是1个。 2. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、M分别是D1B、AA1的中点。（1）求证：MO是AA1和BD1的公垂线；（2）若正方体的棱长为2，B D1=2，求异面直线AA1和BD1的距离。 D1 C1 A1 B1 提示：注意O、M分别是D1B、AA1的中点，想办法通过证明等腰三角形来证垂直. 思路：连接D1M、BM，通过证BM= D1M，得到MO⊥D1B；连接D1A、A1B，证 ΔA1D1B≌ΔAB D1，得到A1O=AO，推出MO⊥A1A O   M D C A B 结束

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