АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

2. Содержание • Организационный момент. • Исторические сведения о прогрессиях. • Прогрессии в жизни и быту. • Тестовые задания. • Исторические задачи. • Самостоятельная работа. • Итог урока. • Задание на дом.

3. Зная формулы n- члена и суммы n- первых членов прогрессии, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.

4. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Понятие числовой последо -вательности возникло и раз- вивалось задолго до соз - дания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)

5. Прогрессии в древности Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, делениенаследства и др.

6. Древний Египет Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

7. Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры» Формула, которой пользовались египтяне: Древний Египет

8. Арифметическая Геометрическая Англия XVIII век В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

9. Германия Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы. КАРЛ ГАУСС(1777 – 1855) Решение 1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950

10. Прогрессии в жизни и быту Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и  геометрической прогрессий.

11. Задача легенда Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

12. Дано ; 1, 2, 4, 8, 16… Ее сумма равна 18 446 744 073 709 551 615 Решение задачи - легенды n = 64

13. Вывод Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

14. Задача из арифметики Магницкого Некто продал лошадь за 156 рублей.Но покупатель,обретя лошадь,раздумал и возвратил продавцу,говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь,которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: "Если по-твоему цена  лошади высока,то купи ее подковные гвозди,лошадьже получишь тогда в придачу бесплатно.Гвоздей в каждой подкове 6.За первый гвоздь дай мне 1/4 коп.,за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“ Покупатель,соблазненный низкой ценой,и желая даром получить  лошадь,принялусловия продавца,рассчитывая,что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

15. 1. Составим последовательность чисел 2. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2, n = 24. 3. Попытаемся подсчитать сумму 4. Зная формулу 5. Имеем Решение задачи из арифметики Магницкого

16. НАСЛЕДСТВО Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

17. Применив формулу ,получаем: Применив формулу Решение

18. Заключение Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звезд и вся земля. Но математиков зовет Известный лозунг «Прогрессия — движение вперед».

19. Домашнее задание 1.Найти сумму первых 8 членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -4, а разность равна -3. 2.Первый член арифметической прогрессии равен -5, а разность равна 6. Сколько надо взять членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 35? 3.Найти сумму 5 первых членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 2, а знаменатель равен 3. 4.Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 150.

20. Спасибо за внимание!