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与圆有关的比例线段

与圆有关的比例线段. A. D. O. P. B. C. T. O. P. A. B. 开放题型. 已知：弦 AB 和 CD 交于⊙ O 内一点 P ，请你写出三个结论。. 已知：点 P 是⊙ O 外一点， PT 是切线， T 是切点， PA 是割线，点 A 、 B 是它与⊙ O 的交点，请你写出三个结论。. A. D. O. P. B. C. T. O. P. A. B. 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。. PA·PB=PC·PD.

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与圆有关的比例线段

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Presentation Transcript

  1. 与圆有关的比例线段

  2. A D O P B C T O P A B 开放题型 • 已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P，请你写出三个结论。 • 已知：点P是⊙O外一点，PT是切线，T是切点，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，请你写出三个结论。

  3. A D O P B C T O P A B • 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 PA·PB=PC·PD • 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 PT2= PA·PB

  4. A D P 你能用两种不同的原理证明吗？ C O B 演变与一题多解 • 如图，CD是弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P。求证：PC2＝PA·PB • 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 PC2= PA·PB

  5. D 你能用多种不同的原理证明吗？ C O P A B 演变与一题多解 • 如图，PAB和PCD是⊙O的两条割线。求证：PA·PB＝PC·PD PA·PB＝PC·PD • 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

  6. C P A B D O 相交弦定理练习 • 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。 • 如图，在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C。求证：PC2＝PA·PB

  7. B A O P C B O A D C E 切割线定理练习 • 如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO=10.9cm，求⊙O的半径。 • 如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E。AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。

  8. 与圆有关的比例线段 提高篇

  9. A O O' B M P a N Q D E b A B K C H 巩固练习 • 已知：线段a、b求作：线段c，使得c是a，b的比例中项。 • 完成课本112页、114页、116页练习 • 如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，PQ切⊙O于P，交⊙O ′于Q、M，交AB的延长线于N。求证：PN2＝NM·NQ • 如图，C为AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于H、K。求证：AH·AK=2AC2。

  10. B A O P C C B P A O D 学会用半径加减或加减半径 • 如图，已知PAB是⊙O的割线，PO＝14cm，PA＝4cm，AB＝16cm。求⊙O的半径。 • 求证：圆心到弦上任一点的距离的平方与此点分弦所成两线段之积的和等于此圆半径的平方。

  11. 运动观点看本质 • 切线长定理 • 相交弦定理 • 相交弦定理推论 • 切割线定理 • 割线定理 本质一样 圆幂定理

  12. (1)经过⊙O内或外一点P作两条直线交⊙O于A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请先写出这个式子，然后只就图②给予证明；(1)经过⊙O内或外一点P作两条直线交⊙O于A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请先写出这个式子，然后只就图②给予证明；

  13. (2)已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过P任作一直线交⊙O于不重合的两点E、F，PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。(2)已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过P任作一直线交⊙O于不重合的两点E、F，PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。 结论：过不在圆上的一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值。（等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）

  14. A O C B P D 已知：P是⊙O的直径CB的延长线上的一点，PA和⊙O相切于A，若PA＝15，PB＝5。（1）求tan∠ABC的值；（2）弦AD使∠BAD＝∠P，求AD的长。

  15. 图① 图② 已知AC、AB是O的弦，AB>AC. (1)如图①,能否在AB上确定一点E，使AC2＝AE·AB，说明理由。 (2)如图②，在条件(1)的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由； (3)在条件(2)的情况下， 如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？

  16. 如图已知：点C是⊙O外一点，过C作⊙O的切线CB和CD，切点分别为B、D，连BO并延长交⊙O于点E，交CD的延长线于A，若如图已知：点C是⊙O外一点，过C作⊙O的切线CB和CD，切点分别为B、D，连BO并延长交⊙O于点E，交CD的延长线于A，若 AD＝m·AE，且 ，求m的值。 A E D O C B

  17. 如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，且AD延长线交⊙O于E，又如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，且AD延长线交⊙O于E，又 求证：（1）PA=PD；

  18. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的外角平分线交BC的延长线于D交△ABC的外接圆O于E，DF切⊙O于F，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的外角平分线交BC的延长线于D交△ABC的外接圆O于E，DF切⊙O于F， 求证：

  19. 已知：AB是⊙O的直径，D是BA延长线上的一点，DC切⊙O于点C，CP⊥BD，垂足为P，E是BC上一点，BE:EC＝PO:PA，tan∠EPB＝7/24，BC＝8，(1)判断线段PE、DC所在直线是否平行，并证明你的结论；(2)求⊙O的直径；已知：AB是⊙O的直径，D是BA延长线上的一点，DC切⊙O于点C，CP⊥BD，垂足为P，E是BC上一点，BE:EC＝PO:PA，tan∠EPB＝7/24，BC＝8，(1)判断线段PE、DC所在直线是否平行，并证明你的结论；(2)求⊙O的直径； (3)若M、N分别是线段BC、BD上的动点(M与B、C不重合)，且MN//CO，设MN＝x，四边形MCDN的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域。

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