Les plans d'experience

1. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 1 Les plans d’expérience Initiation à leur analyse et à leur construction J.S. Pierre mercredi 9 janvier 2008

2. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 2 Plan du cours Introduction Le plan à un facteur Plans à deux facteurs Plans factoriels Complets Incomplets Autres plans Carré latin Split-plot

3. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 3 Introduction Vocabulaire de la planification et de l’analyse de variance

4. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 4 Définition Un plan d’expérience consiste en la mise en œuvre organisée d’un ensemble d’unités expérimentales de manière à révéler les effets de différents traitements Exemple : comparer les effets de quatre antibiotiques sur une souche de bactéries

5. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 5 Vocabulaire Variable à expliquer Ou réponse Ce que l’on mesure Constitu(ent) les résultat du plan Résultat univarié Résultat multivarié Variable explicative Covariable Variable quantitative mesurée préalablement à l’expérience Non influencée par le plan Facteur Ensemble de modalités disjointes

6. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 6 Facteurs On appelle facteur un ensemble de traitements de « même nature » (liés par une similitude logique) et mutuellement exclusifs Ces différents traitements sont nommés modalités ou encore niveaux (levels)

7. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 7 exemple Essai sur les colzas, réalisé en 2004 par les étudiants de l’UE. le facteur « variété » a quatre modalités Parapluie Tanto Darmor Darmor Nain Dans le même essai, le facteur « terreau » a trois modalités Terreau de semis Terreau de repiquage Terreau pour plantes d’intérieur

8. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 8 Unités expérimentales On nomme « unités expérimentales » ou « individus » les objets (a priori identiques) sur lesquels on applique les traitements Exemple Cas des antibiotiques : 1 unité expérimentale = une boîte de Petri Cas des colza : 1 unité expérimentale = 1 godet perdu avec 4 graines

9. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 9 Ressources, allocation Ressources : nombre d’unités expérimentales disponible Allocation : répartition des ressources parmi les modalités Exemple : colza, allocation équilibrée

10. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 10 Analyse des plans Relève de la statistique Définition On appelle Statistique un ensemble de techniques de mathématiques appliquées destinées à extraire le signal du bruit Signal : ce qui est signifiant Bruit : ce qui est insignifiant vis à vis du signal étudié (aléatoire)

11. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 11 Deux citations René Thom : « Halte au hasard, silence au bruit ! » Le Débat n°3 juillet-août 1980 éditions Gallimard, Paris, 192p. « Ce qui limite le vrai ce n’est pas le faux mais l’insignifiant » Prédire n’est pas expliquer page 132

12. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 12 Construction des plans Relève de la Recherche opérationnelle C’est à dire des techniques d’optimisation Nous aurons donc la charge d’optimiser sur la base de nos connaissances statistiques

13. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 13 1. Le plan à un facteur Ou plan en randomisation totale

14. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 14 1. Plan à Un facteur 1.1. Mise en œuvre 1.2. Analyse Analyse de variance Comparaisons multiples de moyennes (tests « post hoc ») Substituts à ou extensions de l’analyse de variance Anova non paramétrique Modèle linéaire généralisé (définition) 1.3. optimisation Détermination du nombre de répétitions nécessaires Allocation optimale eu égard aux objectifs du plan

15. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 15 1.1. Mise en oeuvre A. On détermine l’allocation Nombre d’unités expérimentales par modalité du facteur B. Chaque unité reçoit une modalité par tirage au sort exhaustif = randomisation

16. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 16 Exemple Quatre antibiotiques et un témoin Clométocilline Pénicilline G Pénicilline V Sulbactam Témoin 20 boîtes de culture P

17. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 17 1.2. Analyse

18. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 18 L’analyse de variance

19. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 19 Le modèle statistique Quel est le modèle statistique du plan à un facteur (effets fixés) ? Yij est le résultat mesuré sur la j ième u.e. de la i ième modalité On reconnaît le modèle de l’échantillonnage stratifié

20. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 20 But Rejeter l’hypothèse nulle :

21. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 21 La décomposition des sommes de carrés d’écarts Considérons un écart à la moyenne des valeurs observées

22. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 22 Graphiquement

23. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 23 Elevons au carré

24. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 24 Sommons Sur toutes les unités

25. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 25 Et finalement

26. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 26 Notations commodes SCET : Somme des carrés des écarts totale SCEB : Somme des Carrés des Ecarts Inter (Between) Ou factorielle SCEW : Somme des Carrés des Ecarts Intra (Within) Ou résiduelle SCET = SCEB + SCEW T = W + B

27. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 27 Sous Ho Au produit par les « degrés de liberté » près Toutes ces sommes de carré mesurent la même chose

28. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 28 En particulier Sous H0, « variance » inter et « variance » intra sont égales en espérance

29. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 29 Sous H1

30. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 30 D’où la statistique F de Fisher :

31. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 31 Comment est distribué F ? Cela dépend des hypothèses sur les erreurs Si les erreurs sont - Distribuées normalement - Indépendantes deux à deux - Avec une espérance nulle - Et une variance uniforme s2 indépendante de la modalité i Le numérateur est distribué comme un c2 à p – 1 degrés de liberté Le dénominateur est distribué comme un c2 à n – p degrés de liberté F est alors distribué comme une variable de Fisher – Snedecor à p – 1 et n – p degrés de liberté

32. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 32 Pour rejeter Ho ? On peut utiliser une table Exemple : F =4.8, dl1 = 4, dl2 = 44 F est-il assez grand

33. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 33 Décision Sur la base de la table précédente La valeur supérieure limite est 2.58 Le seuil de la table est a = 0.05 4.8 est supérieur à 2.58 On déclare l’effet du facteur significatif au seuil a = 0.05

34. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 34 Utilisation d’un logiciel Par exemple R Problème Anatalanta Anova directe : > attach(anatal) > anova(lm(Lo~station %in% altitude)) Analysis of Variance Table Response: Lo Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) station:altitude 7 3.5630 0.5090 17.573 < 2.2e-16 *** Residuals 312 9.0371 0.0290 --- Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 >

35. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 35 Autre utilisation du logiciel On cherche la probabilité exacte d’obtenir un F supérieur ou égal à 4.8 avec dl1 = 4 et dl2 = 44 > pf(4.8,4,44,lower.tail=F) [1] 0.002665292 > # vérification de la table > pf(2.58,4,44,lower.tail=F) [1] 0.05025123

36. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 36 Le tableau d’analyse de variance

37. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 37 Validité Des résultats

38. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 38 Comment contrôler la validité des résultats ? Graphiques Histogramme des résidus Droite de Henry des résidus Résidus en fonction de l’estimée Résidus en fonction de l’ordre des données Tests Normalité des résidus Kolmogorov Shapiro-Wilks Egalité des variances Bartlett A relativiser (Anova « robuste » aux écarts aux hypothèses)

39. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 39 Exemple : Anatalanta > lm(Lo~station %in% altitude)->m1 > plot(m1$fit,m1$res) > abline(0,0) > title("Lo : résidus en fonction de l'estimée")

40. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 40 Exemple : Anatalanta > hist(m1$res,main="Lo : Histogramme des résidus") > > qqnorm(m1$res,main="Lo (res) : droite de Henry ") > qqline(m1$res) > shapiro.test(m1$res) Shapiro-Wilk normality test data: m1$res W = 0.9787, p-value = 0.0001096

41. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 41 Résumé L’analyse de variance permet de juger l’effet de tout un ensemble de modalités On compare une estimation de la variance interindividuelle A partir de la somme des carrés des écarts inter (B) Et à partir de la somme des carrés des écarts intra (W) Par la statistique F de Fisher Il nous reste à comparer les modalités

42. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 42 Comparaisons multiples de moyennes Ou « tests post hoc »

43. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 43 Une mauvaise idée Comparer toutes les moyennes deux à deux par un test t Pourquoi est-ce une mauvaise idée ? Prenons un exemple Supposons que nous avons comparé quatre moyennes deux à deux et que nous obtenions le tableau suivant :

44. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 44 Avec les codes habituels

45. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 45 Quelle est la probabilité D’avoir pris au moins une décision fausse ?

46. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 46 L’événement Avoir pris au moins une décision fausse On s’est trompé une fois et une seule Ou On s’est trompé deux fois Ou On s’est trompé trois fois …. On s’est trompé six fois

47. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 47 On s’est trompé une fois (1) est fausse ET (2),(3),(4),(5),(6) sont correctes Ou (2) est fausse ET (1),(3),(4),(5),(6) sont correctes …. etc

48. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 48 Le début du calcul (1) est fausse ET (2),(3),(4),(5),(6) sont correctes p = 0.05*0.99*.95^3*(1-b) b est le manque de puissance du test …

49. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 49 Contrôle du risque de première espèce Au bout du compte, la probabilité d’obtenir au moins une conclusion fausse est bien supérieure au risque nominal a = 0.05 Cette probabilité croît rapidement avec le nombre de comparaisons On dit que le test est « non conservatif »

50. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 50 Le choix d’un test de comparaisons multiples Un équilibre

51. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 51 Que veut-on contrôler ? 1. La probabilité de conclure au moins une fois à tort On peut utiliser la correction de Bonferroni et Sidak Pour k comparaisons (dans l’exemple précédent k = p (p – 1)/2

52. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 52 Avantages et inconvénients Avantages : valable pour tous types de comparaison multiple (paramétriques, non paramétriques, …) Inconvénients : Minorant de a Perte de puissance très rapide

53. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 53 Un très grand nombre de procédures Près d’une vingtaine de procédures PPDS (LSD) de Fisher Studentised range de Newman-Keuls PPAS de Tukey Dunett (comparaison à un témoin) Méthode des contrastes Méthode de Scheffé Bonferroni Sidak …. Que choisir ?

54. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 54 Les critères de choix Idéalement on devrait choisir une courbe de puissance du test En fonction du coût des erreurs de première et seconde espèce Conservativité vs puissance

55. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 55 Les courbes de puissance

56. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 56 Quelques tests bien connus et appréciés Etendue studentisée De Duncan De Newman & Keuls De Tukey T corrigé de Bonferroni Test de Dunett Comparaison à un témoin

57. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 57 Tests extrêmes PPDS (LSD) de Fisher Puissant, non conservatif, en général déconseillé Test des contrastes de Scheffé Absolument conservatif, très peu puissant

58. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 58 1.3 Optimisation Comment faire un meilleur plan

59. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 59 Calcul du nombre de répétitions nécessaires

60. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 60 Comment poser le problème ? Il faut déterminer quatre paramètres 1. Le risque a désiré 2. La puissance 1-b désirée 3. La différence D à mettre en évidence 4. La variance résiduelle du modèle s2

61. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 61 La question correcte : Sachant que j’attend une variance s2 Combien dois-je faire de répétitions Pour mettre en évidence une différence d’ordre D entre modalités Avec une puissance b Et un risque de première espèce a

62. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 62 Mais… Comment avoir une idée de la variance résiduelle s2 ???????? Plusieurs solutions Faire une préexpérience Compulser la bibliographie Chercher des données d’essais antérieurs Interroger les vieux ….

63. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 63 Bis repetita Avant de monter une bonne expérience il est souvent indispensable d’en faire une mauvaise (on a dit la même chose de l’échantillonnage) Principe DEUSE (Deux Essais, Une Seule Erreur)

64. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 64 Comment fait-on ?Cadre : le test z de l’écart réduit

65. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 65 Et donc …

66. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 66 Avec F Le facteur est à effets fixés -> le numérateur est fixé On joue donc sur le dénominateur et on ne peut jouer que sur les degrés de liberté du dénominateur pr –p = p(r-1) Ne peut se faire que par itération

67. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 67 Exemple Dans l’exemple F(4,15)=2.6 NS On doit avoir n2>15 tq P(F<=218)<=a Dans la table il faut que n2=

68. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 68

69. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 69 Recherche de n

70. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 70 Optimisation de l’allocation Améliorer le contraste !

71. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 71 Principe On dit qu’une allocation est optimale si elle minimise la variance de l’ensemble des contrastes auxquels on s’intéresse Nous avons à définir ce que l’on entend par contraste

72. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 72 Définition On appelle contraste toute combinaison linéaire de moyennes dont la somme des coefficients est nulle

73. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 73 Cas particulier Comparaison de deux moyennes

74. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 74 L’allocation dépend des objectifs Cas 1 : on s’intéresse de la même manière à tous les contrastes du type mi - mj Cas 2 : on s’intéresse essentiellement à la comparaison à un témoin mi – m0 Cas 3 : On cherche à démontrer la linéarité d’une relation dose-effet

75. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 75 Cas 1 On s’intéresse de la même façon à tous les contrastes élémentaires Quelle est la variance d’un contraste élémentaire ?

76. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 76 Quelle est la contrainte ? On se fixe le nombre total d’unités expérimentales disponibles (ressources)

77. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 77 On pose le problème Trouver le minimum de

78. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 78 Solution : on forme le « lagrangien »

79. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 79 On annule les dérivées partielles Soit

80. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 80 Conclusion : Allocation équilibrée Optimale lorsque toutes les comparaisons sont également intéressantes

81. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 81 Cas 2 Comparaisons à un témoin privilégiées

82. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 82 Lagrangien

83. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 83 Solution Charge du témoin

84. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 84 Solution du cas 2 Si on ne s’intéresse qu’aux comparaisons de chaque modalité avec le témoin on doit : Equilibrer toutes les modalités hors témoin Affecter autant d’unités au témoin qu’à toutes les autres modalités réunies

85. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 85 Cas 3 Les modalités sont trois doses de fertilisant équiréparties (ex 10,20,30 Unités) On cherche à démontrer la linéarité de la réponse à la dose

86. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 86 Variance du contraste Lagrangien :

87. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 87 Solution

88. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 88 Solution : Pour montrer la linéarité d’une relation, on chargera d’avantage les modalités médianes

89. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 89 Plans à deux facteurs Croisement, hiérarchie, interaction, orthogonalité

90. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 90 Les facteurs peuvent être Croisés Emboîtés (nested) ou hiérarchiques Fixes ou aléatoires Etudiés ou contrôlés

91. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 91 a) Facteurs croisés a1 : modèle additif Effets indépendants A2 : modèle interactif Effets particulier de chaque combinaison de modalités A3 : modèles croisés non orthogonaux

92. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 92 Modèle croisé additif Deux facteurs sont dits croisés si on peut classifier leurs modalités dans une table à double entrée Exemple : Sexe et altitude dans le jeu de données anatalanta Les moyennes par ligne et par colonne de la table obtenue ont un sens

93. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 93 Ecriture du modèle (fixe) Effets fixes

94. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 94 Ecriture du modèle (aléatoire) Effets aléatoires

95. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 95 Modèle mixte Effets fixés et aléatoires

96. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 96 Votre responsabilité Déclarer un facteur comme fixe ou aléatoire est de votre responsabilité Fixe : chaque modalité vous intéresse Aléatoire : chaque modalité n’est pour vous qu’une unité d’échantillonnage (grappe) Exemple : choix judicieux pour anatalanta Sexe : facteur fixé Altitude : facteur fixé Station : facteur Fixé si chaque station est un objet d’étude Aléatoire si les stations ne représentent que la variabilité du terrain

97. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 97 Exemple

98. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 98 Exemple > read.table("anatal.txt",h=T)->anatal > attach(anatal) > anatal$sexe<-factor(sexe) > anatal$station<-factor(station) > anatal$altitude<-factor(altitude) > summary(anatal) Sexe, station et altitude doivent apparaître comme des facteurs

99. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 99 Exemple : facteurs croisés > Analysis of Variance Table Response: Lo Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) sexe 1 0.2081 0.2081 5.6279 0.01827 * altitude 1 0.6716 0.6716 18.1650 2.675e-05 *** Residuals 317 11.7204 0.0370 --- Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1

100. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 100 Orthogonalité Deux facteurs croisés sont dits orthogonaux si leurs nombres de répétitions par ligne, colonne et case vérifient la relation suivante :

101. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 101 Conséquence de l’orthogonalité Si deux facteurs croisés sont orthogonaux, les sommes de carrés d’écart correspondants sont additifs et ajustés Le type I est absolument correct pour chaque facteur Sinon, ils sont partiellement confondus (confounding) et doivent être analysés en type III

102. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 102 Orthogonalité et planification expérimentale On utilise couramment des plans non orthogonaux par construction Plans en blocs incomplets équilibrés (BIE) Plans en blocs incomplets partiellement équilibrés (BIPE) Plans fractionnaires

103. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 103 Interaction dans le modèle croisé Et test de l’interaction

104. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 104 Exemple : facteurs croisés >anatal.mod1<-lm(Lo~sexe*alt,data=anatal) > anova(anatal.mod1,ssTypes=3) Analysis of Variance Table Response: Lo Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) sexe 1 0.2081 0.2081 5.6431 0.01812 * altitude 1 0.6716 0.6716 18.2140 2.613e-05 *** sexe:altitude 1 0.0684 0.0684 1.8562 0.17403 Residuals 316 11.6520 0.0369

105. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 105 Modèle additif et interactif

106. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 106 Ecriture Modèle additif

107. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 107 Ordre des interactions Ordre 1 : facteurs deux à deux Odre 2 : facteurs trois à trois … etc. Notations logicielles R : f1:f2, f1:f2:f3, f1*f2 = f1+f2+f1:f2 SAS, minitab : f1*f2, f1*f2*f3

108. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 108 b) Facteurs hiérarchisés Représentation par un arbre

109. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 109 Modèle hiérarchique Comment écrit-on le modèle ?

110. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 110 Exemple : modèle hiérarchique aléatoire A venir

111. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 111 Autres notations

112. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 112 Anatalanta a : sexe b : altitude D : station Aléatoire Hiérarchisée sous altitude

113. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 113 Analyse d’un facteur hiérarchisé

114. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 114 Les plans factoriels

115. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 115 Les plans factoriels complets Un plan factoriel est dit complet si chaque modalité du premier facteur est associée avec chaque modalité du second facteur dans une unité expérimentale Généralisation : un plan factoriel à k facteurs est dit complet si toutes les combinaisons possibles des modalités de chaque facteur pris 2 à 2, 3 à 3, k à k sont associées dans le même nombre d’unités expérimentales Dans le cas contraire, il est dit incomplet

116. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 116 Exemple de plan factoriel complet Facteur 1 : 3 modalités, A,B,C Facteur 2 : 3 modalités, X,Y,Z Facteur 3 : 2 modalités a,b

117. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 117 Caractéristiques Orthogonal Comporte au minimum pqr unités expérimentales (p,q,r, respectivement nombre de modalités des facteurs 1,2,3). Dans le cas général, produit du nombre de modalités de chaque facteur Un plan qui comporte le minimum d’unités nécessaires est dit minimal. S’il en comporte plus, il est dit répété . Dans ce cas il doit comporter 2 fois, 3 fois, etc… ce nombre minimal d’UE m étant le nombre de facteurs, on peut atteindre au plus les interactions d’ordre m-2 sur un plan minimal

118. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 118 Exemple Le plan de la diapositive 116 Le plan minimal a 3 x 3 x 2 =18 unités expérimentales Il permet d’atteindre les interactions d’ordre 1, mais pas l’interaction d’ordre 2 Les plans répétés contiennent 36,54,72… UE Les plans factoriels complets sont lourds et chers

119. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 119 Cas particulier : Les plans en blocs

120. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 120 Plans en blocs Un des facteurs est souvent un facteur dit « bloc » Non étudié et « non intéressant », il sert souvent à contrôler l’hétérogénéité du matériel expérimental Pour un petit nombre d’unités expérimentales, on ne fait pas confiance à la randomisation

121. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 121 Exemple de blocs Agronomie, écologie expérimentale : contrôle de l’hétérogénéité du terrain Randomisation par bloc

122. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 122 Autre exemple 12 porcs Très hétérogènes 4 traitements A,B,C,D 3 blocs

123. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 123 Le plan :

124. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 124 Analyse Plans factoriels et plans en blocs Analyse de variance orthogonale Jugement des interactions (si possibles) Jugement de l’effet bloc (significatif de préférence) Jugement de l’effet traitement

125. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 125 Exemple Essai colza 12 blocs 3 terreaux 4 variétés 12 pots perdus par bloc Plan factoriel en blocs complets équilibrés

126. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 126

127. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 127

128. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 128 Analyse de l’interaction bloc-variété

129. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 129 Plans factoriels incomplets Pallier l’insuffisance des grands blocs

130. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 130 Blocs incomplets équilibrés Une première solution

131. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 131 Premier exemple

132. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 132 Cinq constantes b : nombre de blocs t : nombre de traitements k : nombre de traitements par bloc r : nombre de répétitions d’un traitement l : nombre de répétition d’un contraste

133. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 133 Notion d’efficacité Ici (3 x 5)/(4 x 4) = 15/16 = 93.75% Pas d’interprétation trop rapide de cet indice !

134. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 134 Sens de l’efficacité Théorème : Parmi tous les plans connectés de paramètres v,b,k, un BIE, s’il existe maximise l’efficacité minimum On n’en donnera pas la démonstration

135. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 135 Construction des BIE Carré de Youden Plans irréductibles Plans complémentaires Catalogues de plan (Raghavarao 1971, Cochran 1963) Logiciels : AlgDesign (Package de R)

136. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 136 Exemple Construction d’un plan optimal pour les TP On a 10 variétés d’Arabidopsis thaliana, on souhaite en mettre 5 par boîte de culture On utilise la fonction optBloc de AlgDesign sous R

137. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 137 Quel plan obtenons nous Ce n’est pas un BIE -> un BIE avec ces caractéristiques est impossible C’est un BIPE à deux classes d’association

138. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 138 Les Plans en Blocs incomplets partiellement équilibrés BIPE

139. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 139 Assouplissement des BIE But : diminuer encore la taille des blocs Accepter de « sacrifier » certains contrastes l n’est plus uniforme Il y a des classes d’association avec une série de constantes l, l1,l2,l3…

140. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 140 Exemples de construction

141. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 141 Caractéristiques b = 12 t = 8 k = 2 l1 = 1 (arêtes) l2 = 0 (diagonales)

142. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 142 Analyse BIE et BIPE Analyse de variance non orthogonale BIE Comparaison des « moyennes ajustées » BIPE Comparaison des « moyennes ajustées » Par classe d’association Par couples de classes d’association

143. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 143 Analyse de variance non orthogonale La question des effets et SCE « ajustés »

144. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 144 Problème Avantages : blocs très homogènes Inconvénients : effets biaisés, confusion partielle des effets blocs et traitements Par exemple a est vu dans les meilleurs blocs e dans des blocs médiocres

145. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 145 Solution Estimation des effets par les moindres carrés non orthogonaux On estime d’abord l’effet bloc (non ajusté) On estime l’effet des traitements sur les résidus du modèle précédent Les effets et somme de carrés associés aux traitements sont dits ajustés

146. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 146 Exemple

147. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 147 Plans à plusieurs systèmes de blocs Carrés latins et grécolatins, Split-plot et criss-cross Confounding (confusion)

148. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 148 Le carré latin

149. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 149 Analyse Trois facteurs : Blocs horizontaux Blocs verticaux Traitements Aucune interaction n’est accessible Contraignant Peu puissant Usage : très forte hétérogénéité des UE, contrôle de deux gradients

150. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 150 Carré gréco-latin

151. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 151 Analyse Quatre facteurs Blocs horizontaux Blocs verticaux Traitement 1 Traitement 2 Système orthogonal Aucune interaction accessible Très peu puissant

152. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 152 Le split-plot Une simplification pratique des plans factoriels complets à deux facteurs étudiés + les blocs Exemple : Sur une grande boîte de Petri carrée, on peut étudier plusieurs mutants d’Arabidopsis Mais on ne peut faire qu’un seul traitement (témoin, ou sucre, ou sucre + herbicide) Le facteur traitements doit donc être randomisé plus grossièrement que le facteur mutant Split-plot = parcelle coupée

153. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 153 Comparaison

154. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 154 Analyse Deux niveaux On traite le premier facteur comme un bloc complet en « grandes parcelles » Le facteur « sous-bloc » ou « grande parcelle » est aléatoire

155. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 155 Premier niveau

156. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 156 Les plans factoriels pk Complets Fractionnaires Hiérarchiser les facteurs

157. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 157 But : étudier de nombreux facteurs On cherche à trier l’influence de nombreux facteurs On s’intéresse peu à la linéarité des effets On cherche les facteurs les plus importants (facteurs clés) On s’intéresse à des interactions

158. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 158 La base : les plans 2k Exemple : le plan 23 Trois facteurs à deux modalités A,B x,y a,b Un des facteurs peut jouer le rôle de blocs Axa Axb Aya Ayb Bxa Bxb Bya Byb

159. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 159 Caractéristiques Si les modalités sont quantitatives, elles doivent être aussi contrastées que possible On atteint les interactions d’ordre k-1 Croissent géométriquement avec le nombre de facteurs Orthogonaux

160. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 160 Exemple

161. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 161 Exemple (suite)

162. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 162 Conclusions de l’exemple On hiérarchise les facteurs ainsi : F2 > F1 > F3 > F4 > F1:F3 Seuls F1 et F3 sont interactifs

163. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 163 Visualisation des interactions

164. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 164 Fractions de plans Ou plans fractionnaires

165. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 165 Fractions de plan Exemple : on souhaite étudier 3 facteurs à deux modalités Cela nous conduirait à un plan factoriel 23 soit à 8 unités expérimentales Nos ressources se limitent à 4 Nous allons faire une fraction de plan

166. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 166 Construction d’un 23/2 Considérons le plan 22 avec interaction

167. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 167 Ce plan factoriel est incomplet

168. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 168 Confusion (confounding) Le facteur 3 a été confondu avec l’interaction des facteurs 1 et 2 On dit également qu’il est sacrifié Nous avons déjà rencontré cette stratégie dans le Split-Plot

169. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 169 Quand les utiliser ? On utilisera les fractions de plan pour contrôler (comme avec des blocs) des facteurs de variation dont l’effet est déjà bien connu Sans répétition, le troisième facteur est confondu non seulement avec l’interaction mais aussi avec la résiduelle

170. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 170 Plans composites centraux Central composite designs

171. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 171 Principe A un plan factoriel 2k, on ajoute un point « central » éventuellement répété. Les facteurs doivent être quantitatifs Prenons un exemple

172. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 172 Exemple 2 facteurs normés à -1,+1 2 modalités, A,B et x,y Ax -1 -1 Ay -1 +1 Bx +1 -1 By +1 +1 00 0 0

173. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 173 Rationalité 1. Estimation correcte de la variance résiduelle 2. Détection de relations non linéaires (cadre des surfaces de réponse)

174. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 174 Références utiles Cours de l’Université de Lyon http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/cours/pdf/stat/Chapitre9.pdf Ouvrages Dagnélie, P. 1993. Principes d’expérimentation. 2e réimpression. Les presses agronomiques de Gembloux. 182 p. Cochran, W. G., and G. M. Cox. 1957. Experimental designs. Second edition. New York : Wiley. 611 p.

175. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 175 http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_d%27exp%C3%A9rience# (plutôt mauvais. Voir de préférence l’original anglais « design of experiments ») http://www.educnet.education.fr/rnchimie/math/benichou/cours/plan/plan.htm Bon cours mais limité aux plans factoriels et fractionnaires (point de vue de chimiste)

176. J.S. Pierre Intro plans d'expérience 176 Modèles compliqués Croissance très rapide du nombre d’interactions avec le nombre de facteurs Plus de trois facteurs et/ou covariables Le recours à la théorie des plans d’expérience devient indispensable Confusions d’effets Construction de plans factoriels Utilisation de plans types