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第十五章

第十五章. 选考内容. 第 78 讲. 圆中的有关定理及其应用. 2. 如图，设△ ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E ，∠ BAC 的平分线与 BC 交于点 D . 已知 BC =5 ， EC =4 ，求 ED 的长．. 解析： 由切割线定理得 AE 2 = EC × EB =4 × (4+5)=36 ， 所以 AE =6. 因为 AE 为切线，所以∠ EAC =∠ B . 又∠ EAD =∠ EAC +∠ CAD ，∠ EDA =∠ B +∠ BAD .

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第十五章

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Presentation Transcript

  1. 第十五章 选考内容

  2. 第78讲 圆中的有关定理及其应用

  3. 2.如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5，EC=4，求ED的长．2.如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5，EC=4，求ED的长．

  4. 解析：由切割线定理得AE2= EC×EB=4× (4+5)=36， 所以AE=6. 因为AE为切线，所以∠EAC=∠B. 又∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠B+∠BAD. 且∠CAD=∠BAD，所以∠EAD=∠EDA，所以DE=AE=6.

  5. 3.(2011·江苏省扬州中学模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD.求证：3.(2011·江苏省扬州中学模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD.求证： (1)l是⊙O的切线； (2)PB平分∠ABD.

  6. 解析： (1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD. 又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l. 因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线． (2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°， 所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.

  7. 4.已知圆O的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)．若CD=6，求AD的长．4.已知圆O的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)．若CD=6，求AD的长．

  8. 5.如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引⊙O的割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP.5.如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引⊙O的割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP.

  9. 圆的切线的判定

  10. 【解析】 (1)连结OC. 因为AC∥OP， 所以∠ACO=∠COP， ∠CAO=∠POB. 由OA=OC，得 ∠OAC=∠OCA，所以 ∠COP=∠POB. 在△COP和△BOP中， ,

  11. 所以△COP≌△BOP, 所以∠PBO=∠PCO=90°， 所以PC是⊙的切线. (2)由△COP≌△BOP，得 ∠DPO=∠OPB，所以 . 因为DA=OA=OB，所以 又因为AD等于⊙O的半径，AC∥OP， 所以 , 所以 .

  12. 点评 本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明，考查平面几何的推理论证能力. 要证直线PC是⊙O的切线，只要证OC⊥PC即可；要求比例线段，可通过中间比来过渡，结合图形，利用条件即可获证.

  13. 【变式练习1】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，作CM⊥AB，垂足为点M. 求证： (1)DC是⊙O的切线; (2)AM · MB=DF · DA.

  14. 【解析】连结OC， 则∠OAC=∠OCA. 又因为CA是∠BAF 的角平分线， 所以∠OAC=∠FAC， 所以∠FAC=∠OCA， 所以OC∥AD. 因为CD⊥AD，所以CD⊥OC，即CD是⊙O的切线.

  15. (2)连结BC. 在Rt△ACB中，CM2=AM · MB. 因为CD是⊙O的切线， 所以CD2=DF · DA. 又Rt△AMC≌Rt△ADC，所以 CM=CD， 所以AM · MB=DF · DA.

  16. 切割线定理及其应用

  17. 【解析】连结AE，AF. 因为AB是圆O的直径， 所以∠AEB=∠AFB=90°. 又∠CDB=90°， ∠ABC=∠DBF， 所以△DBC∽△FBA, 所以 ， 即AB · BD=BC · BF.

  18. 因为∠AEB=90°，CD⊥AB， 所以BE2=BD · AB(直角三角形射影定理). 因为CT是切线，CB是割线， 所以CT2=CF · CB. 所以BC2 - CT2=BC2 – CF · CB =BC · (BC - CF) =BC · BF, 所以 BE2=BC2 - CT2，即BE2+CT2=BC2.

  19. 点评 有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方形式，考虑直角三角形射影定理.

  20. 【变式练习2】如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DB·DA.

  21. 【解析】连结OF.因为DF切⊙O于F， 所以∠OFD＝90°. 所以∠OFC＋∠CFD＝90°. 因为OC＝OF， 所以∠OCF＝∠OFC.

  22. 【解析】因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°.【解析】因为CO⊥AB于O，所以∠OCF＋∠CEO＝90°. 所以∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，所以DF＝DE. 因为DF是⊙O的切线，所以DF2＝DB·DA. 所以DE2＝DB·DA.

  23. 四点共圆及其应用 【例3】如图，已知△ABC 的两条角平分线AD和CE相 交于H，∠B=60°， F在AC上，且AE=AF. 证明：(1)B，D，H，E四点共圆； (2)CE平分∠DEF.

  24. 【解析】(1)在△ABC中，因为∠B=60°， 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为AD、CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°，所以 ∠AHC=120°， 所以∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以B，D，H，E四点共圆.

  25. (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线. 由(1)知，B，D，H，E四点共圆,∠CED=∠HBD=30°. 又∠EBD=∠AHE=60°, 由已知可得EF⊥AD, ∠CEF=30°， 所以CE平分∠DEF.

  26. 点评 本题是对考生几何推理论证能力的综合考查，所用到的知识较多，证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件，通过等量代换将角集中到一个四边形中，达到使用条件的目的.

  27. 2.(2011·南通三模卷)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC.2.(2011·南通三模卷)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC.

  28. 解析:因为AE=AC，AB为直径， 故∠OAC=∠OAE. 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE，所以∠PDE=∠POC.

  29. 【解析】根据相交弦定理，得PD · PC=PA · PB，所以PD · 6=4×3, 所以PD=2(cm). 因为EA是⊙O的切线，所以EA2=ED · EC， 所以 20=ED · (ED+8)，所以ED=2(cm), 则PE=4(cm).

  30. 4.已知⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D . 经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F. 求证：CE∥DF.

  31. 【解析】如图，连结AB. 因为四边形ABEC 是⊙O1的内接四边形， 所以∠BAD=∠E. 因为四边形ADFB 是⊙O2的内接四边形， 所以∠BAD+∠F=180°. 所以∠E+∠F=180°, 所以CE∥DF.

  32. 3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法： (1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形.

  33. 4.与圆有关的常用辅助线 (1)有弦，可作弦心距； (2)有直径，可作直径所对的圆周角； (3)有切点，可作过切点的半径； (4)两圆相交，可作公共弦； (5)两圆相切，可作公切线； (6)两半圆，可作整圆.

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