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复变函数 第 6 讲

复变函数 第 6 讲. 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 ( 单击 ppt 讲义后选择‘复变函数 ' 子目录 ). 例 1 设一平面流速场的复势为 f(z)=az(a>0 为实常数 ), 试求该场的速度 , 流函数和势函数. }. 等势线. y. {. 流 线. x. O.

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复变函数 第 6 讲

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  1. 复变函数第6讲 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择‘复变函数'子目录)

  2. 例1 设一平面流速场的复势为f(z)=az(a>0为实常数), 试求该场的速度, 流函数和势函数.

  3. } 等势线 y { 流 线 x O

  4. 例2由场论的观点, 流速场中散度div v 0的点, 统称为源点(有时称使div v > 0 的点为源点, 而使div v < 0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常流速场的复势, 并画出流动图象.[解] 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷远处保持静止状态. 由该场的对称性容易看出, 场内某一点z0处的流速具有形式v=g(r)r0,其中r=|z|, r0是指向点z的向径上的单位向量, 可用复数表示为 , g(r)是一待定函数.

  5. 由于流体的不可压缩性, 流体在任一以原点为中心的圆环域r1<|z|<r2内不可能积蓄, 所以流过圆周|z|=r1与|z|=r2的流量应相等, 故流过圆周的流量为 因此, 它是一个与r无关的常数, 称为源点的强度. 由此得

  6. 而流速可表示为 显然, 它符合"在无穷远处保持静止状态"的要求. 由(2.4.6)式可知, 复势函数f(z)的导数为 则 其中c=c1+ic2为复常数.

  7. 该场的流动图像如图2.4和2.5所示(实线表示流线, 虚线表示等势线. c=c1+ic2为复常数. 将实部与虚部分开, 就分别得到势函数和流函数为

  8. 图2.4 y (N<0) O x

  9. 图2.5 y (N>0) O x

  10. 第三章 复变函数的积分 §1 复变函数积分的概念

  11. 1. 积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线. 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 则将C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 设曲线C的两个端点为A与B, 如果将A到B的方向作为C的正方向, 则从B到A的方向就是C的负方向, 并记作C-. 常将两个端点中一个作为起点, 另一个作为终点, 则正方向规定为起点至终点的方向. 而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时, 邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方.

  12. 定义 设函数w=f(z)定义在区域D内, C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 把曲线C任意分成n个弧段, 设分点为A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B y zk zk ... Dzk zk-1 z3 z3 B z2 z2 z1 z1 A x O

  13. 在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一点k, 并作和式

  14. 容易看出, 当C是x轴上的区间axb, 而f(z)=u(x)时, 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.

  15. 2,积分存在的条件及计算法 设光滑曲线C由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t), atb (3.1.2)给出, 正方向为参数增加的方向, 参数a及b对应于起点A及终点B, 并且z'(t)0, a<t<b.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续, 则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数. 设zk=xk+ihk, 由于Dzk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1) =(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,所以,

  16. 由于u,v都是连续函数, 根据线积分的存在定理, 我们知道当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 不论对C的分法如何, 点(xk,hk)的取法如何, 上式右端的两个和式的极限都是存在的. 因此有

  17. 上式右端可以写成 • 如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成, 则我们定义

  18. 例1 计算 , 其中C为原点到点3+4i的直线段.[解]直线的方程可写作x=3t, y=4t, 0t1,或 z=3t+i4t, 0t1.在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是

  19. 例2 计算 , 其中C为以z0为中心, r为半径的正向圆周, n为整数. y z z-z0=reiq q r z0 x O

  20. [解] C的方程可写作z=z0+reiq, 0q2p, dz=ireiqdq

  21. 所以 • 这个结果以后经常要用到, 它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关. 应当记住.

  22. 3.积分的性质

  23. 柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零: B C

  24. 定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B.如果曲线C是B的边界, 函数f(z)在B内与C上解析, 即在闭区域B+C上解析, 甚至f(z)在B内解析, 在闭区域B+C上连续, 则f(z)在边界上的积分仍然有

  25. §3 基本定理的推广 复合闭路定理

  26. 可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D内的任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完全含于D时, 沿C的积分就不一定为零.假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧线AA'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上这样构成两条全在D内的简单闭曲线AEBB‘E’A‘AE及AA’F‘B’BFA.

  27. D C F F' A' A B B' E' C1 E D1

  28. 将上面两等式相加, 得

  29. (3.3.1)说明, 如果将C及C1-看成一条复合闭路G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1-顺时针, 则 • (3.3.2)说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为 • 闭路变形原理

  30. D 变形过程中不能够经过f(z)不解析的点

  31. 定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2,...,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ..., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z)在D内解析, 则 • G为由C及Ck(k=1,2,...,n)所组成的复合闭路(C按顺时针, Ck按逆时针

  32. D C2 C1 C3 C

  33. 例如 从本章§1的例2知: 当C为以z0为中心的正向圆周时,

  34. 例 计算 的值, G为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线. • [解] 函数 在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的. • 由于G 是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线, 因此, 它也包含这两个奇点. 在G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2, C1只包含奇点z=0, C2只包含奇点z=1.

  35. 则根据复合闭路定理的i), 可得 y G x O C2 C1 1

  36. 作业 第三章习题 第99页开始 第1题 第6题 第1),2),3),4),5)小题

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