Урок в 9 классе по теме «Прогрессии»

1. Урок в 9 классе по теме «Прогрессии» Работу выполнила учитель математики высшей категории МОУ СОШ №3 села Кочубеевское Кочубеевского района Ставропольского края 2013 г.

2. Закончился двадцатый век.Куда стремится человек?Изучены космос и море,Строенье звезд и вся Земля.Но математиков зовет Известный лозунг:«Прогрессио- движение вперед».

4. Желаю работать, желаю трудиться, Желаю успехов сегодня добиться, Ведь в будущем всё это вам пригодится. И легче в дальнейшем вам будет учиться.

5. Проблемные вопросы: • Что называется последовательностью? • Всякая ли последовательность будет прогрессией? • Как из последовательностей выявить арифметические и геометрические?

6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Способы задания Виды числовых последовательностей Рекуррентный Формулой п- члена Арифметическая прогрессия Словесный Геометрическая прогрессия Последовательность Фибоначчи

7. Прогрессии Геометрическая прогрессия Арифметическая прогрессия Последовательность в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему сложенному с одним и тем же числом. Последовательность отличных от нуля чисел в которой каждый член начиная со второго равен предыдущему умноженному на одно и тоже число. Число q- знаменатель прогрессии. Число d- разность прогрессии d = a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 =…. q = b2:b1 = b3:b2 = b4:b3 =…

8. Формула n-го члена прогрессии арифметической, геометрической bn=b1qn-1 an=a1+d(n-1)

9. Формулы суммы n первых членов прогрессий арифметическая геометрическая Дано:a1=5, d=4 Дано:b 1 = 2, q = - 3 Найти: S5 Найти: S4 S5 = 65 S4 = - 40

10. ФОРМУЛА СУММЫ бесконечно убывающей геометрической прогрессии |q| < 1 Найти :

11. Информационная модель (схема) сравнения арифметической и геометрической прогрессий a1, a2, a3, . . . Установите «родство» прогрессий an+1=an+d bn+1=bn·q d = an -а1 q =bn+1:bn an=а1+d(n-1) bn = b1qn-1 характеристические свойства

12. Сравнение арифметической и геометрической прогрессий Сравнив определения арифмети ческой и геометрической прогрессий можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение – возведением в степень. an+1=an+d bn+1=bn·q d = an -а1 q =bn+1:bn bn = b1qn-1 an=а1+d(n-1)

13. Определения Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, умноженному на одно и то же число, называетсяарифметическойпрогрессией геометрической

14. Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий Любой член арифметическойпрогрессии, геометрической начиная со второго, является средним арифметическим геометрическим предшествующего и последующего членов.

15. Характеристическое свойство прогрессий Геометрическаяпрогрессия Арифметическаяпрогрессия Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами последовательности (bn>0) Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии х1, х2, 4, х4,14, …найти: х4 b1, b2, 1, b4, 16, …- все члены положительные числанайти: b4 Х4=9 b4=4

16. “Родство” прогрессий становится еще более заметным, если сравнить их характеристические свойства. Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением, а деление на два - извлечением корня второй степени, и из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии.

19. да нет нет нет да да да да да да

21. Выявите закономерность и задайте последовательность рекуррентной формулой 1) 1, 2, 3, 4, 5, … 2) 8, 6, 4, 2, 0, - 2, … 3) 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; … an = a n -1 +1 an = a n -1 + (-2) an = a n -1 + 0,5

22. Какие из указанных последовательностей являются прогрессиями? 2) 1,4,9,16,25,… 1) 1,2,3,4,5,… 4) 1,2,5,12,29,… 3) 4,6,8,10,12,… 5) 2,6,18,54, … 6) 1,8,27,64,81,… 7) 3,6,12,24,… 8) 1,-2,-3,-8,… 9) 2,4,6,8,10,… 10) ½,¼,⅛, …

23. Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия 1) 1,2,3,4,5,… 5) 2,6,18,54, … 3) 4,6,8,10,12,… 7) 3,6,12,24,… 9) 2,4,6,8,10,…

24. Есть ли здесь арифметическая прогрессия? • 2,3; 3,5; 4,7; 5,9;…; • -½; 1; -2; 4;…; • 3; -9; 27; 81;…; • 3; 5; 7; 9;…?

25. Найдите ошибку: 32 32 120 130 -17,5 -2,5 55 -25 5,5 5,5 4 4

26. Рис.1Задача 1.Вертикальные стержни имеют такую длину: наименьший а=5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней (рис.1). Задача 2.В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 мин (рис.2) Ответ: 77 дм. Ответ: 121

27. Записать последовательность в соответствии с условием задачи. • Записать эту же последовательность с помощью таблицы. • Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности в первой задаче и частное q от деления последующего члена на предыдущий во второй задаче. • Задать эти последовательности рекуррентным способом.

28. 5. Дать определение арифметической (геометрической) прогрессии. 6. Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую(геометрическую) прогрессию? 7. Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?

29. Проверьте себя:

30. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед. (ок. 287–212 гг. до н.э)

31. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

32. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах».

33. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

34. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

35. НАЗАД, В ИСТОРИЮ! В печати же понятие последовательности отмечено в 1544 году, когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу, при помощи которой можно выполнять умножение и деление чисел, можно возводить числа в степень и извлекать корни.

36. В верхней строчке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней строчке – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. • При помощи данной таблицы можно выполнять умножение чисел. Например, надо умножить на 128. В • таблице над написано -1, над 128 написано 7. Сложим эти числа, получим 6, а над шестёркой стоит число 64. Следовательно, если перемножить эти числа, то получим 64.

37. С помощью таблицы можно выполнить деление. Разделим 32 на 8. В таблице над 32 написано 5, над 8 написано 3. Вычтем эти числа, получим 2, а над двойкой читаем 4. Это есть искомое число. Если вспомнить тождества: при умножении двух степеней с одинаковым основанием основание остаётся прежним, а показатели складывают и при делении двух степеней с одинаковым основанием, основание остаётся прежним, а показатели вычитают, то нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:

38. Теперь можно увидеть, что если показатели степени составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. С помощью таблицы можно возводить в степень и извлекать корни. Например, чему равно ? Извлечём корень четвёртой степени из 256. Делим 8 на 4, против 2 читаем 4, значит, Против 4 читаем 2, умножаем 2 на 3, получаем 6, против 6 читаем 64, значит,

39. Арифметическая Геометрическая Англия XVIII век В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

40. Группа1.Историческая справка Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные. Давайте попробуем повторить этот опыт.

41. Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. 1) 5000; 2) 4949; 3) 5050; 4) 5151. Предложите способ ее вычисления. S 100 = 1+2+3+4+…+100=?

42. Задача очень непроста: Как сделать, чтобы быстро От единицы и до ста Сложить в уме все числа? Пять первых связок изучи, Найдешь к решению ключи! Давным – давно сказал один мудрец, что прежде надо Связать начало и конец У численного ряда.

43. Группа 2 Древняя индийская легенда Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком “ничтожной” для выполнения этой просьбы.

44. Действительно, чтобы выполнить эту просьбу, потребовалось бы количество зерен, равное сумме 1 + 2 + 22 +.. + 263, а эта сумма равна 18446744073709551615. Если считать, что 1 пуд зерна содержит 40000 зерен, то для выполнения просьбы потребовалось бы 230 584 300 921 369 пудов зерна. Если полагать, что в среднем ежегодно собирается 1 000 000 000 пудов зерна, то для выполнения указанной просьбы нашей стране нужно работать (не расходуя ни одного зерна) на протяжении 230584 лет.

45. S64=264-1= =18446744073704551615

46. S 64 = 264 - 1 = 1,84 · 1019 - стандартный вид данного числа Всего зерен 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709 миллионов 551 тысяча 615

47. 3 группа. Это задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

48. “Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей). “Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2. S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

49. 4 группа.О деревенских слухах: Удивительно, как быстро разбегаются по деревне слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела всю деревню: все о ней знают, все слышали. Итак, задача: В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине деревни?

50. Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию: в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек); 9.15 121+81 ·3 =364 (человек); 9.30 364+243 ·3=1093 (человек); 9.45 1093+729 ·3=3280 (человек); 10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек).