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随机信号分析

随机信号分析. 课程内容及安排. 课程地位： 学习通信原理、移动通信等专业课的先修课程 . 主要内容 随机过程 (10~11 次课 ) 平稳随机过程谱分析 (3~4 次课 ) 随机过程通过线性系统 (3~4 次课 ) 随机过程通过非线性系统 (2~3 次课 ) 学习方法：信号与系统 + 随机过程 考核形式 作业 20% 考试 80%. 预备知识. 概 率 论. 主 要 内 容. 经典概率问题. 概率空间、全概率公式和贝叶斯公式. 一维随机变量. 概率分布函数、概率密度函数和一维随机变量函数分布.

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  1. 随机信号分析

  2. 课程内容及安排 • 课程地位： 学习通信原理、移动通信等专业课的先修课程. • 主要内容 • 随机过程(10~11次课) • 平稳随机过程谱分析(3~4次课) • 随机过程通过线性系统(3~4次课) • 随机过程通过非线性系统(2~3次课) • 学习方法：信号与系统+随机过程 • 考核形式 • 作业 20% • 考试 80%

  3. 预备知识 概 率 论

  4. 主 要 内 容 经典概率问题 概率空间、全概率公式和贝叶斯公式 一维随机变量 概率分布函数、概率密度函数和一维随机变量函数分布 概率分布函数、概率密度函数和二维随机变量函数分布 二维随机变量 随机变量数字特征 数学期望、方差和各阶矩 极限定理 切比雪夫不等式、弱大数定律、中心极限定理等 特征函数 随机过程

  5. 主要内容： • 随机变量的数字特征 • 随机变量函数的分布 • 随机变量的特征函数

  6. 第一节 随机变量数字特征

  7. 离散随机变量 连续随机变量 数 学 期 望 离散随机变量 连续随机变量 随机变量Y=g(X)

  8. 数 学 期 望(续1) 注： Y=aX1+bX2 Y=X1X2 X1和X2相互独立时

  9. 数 学 期 望(续2) 例1 随机变量X服从下表分布，求E[X]和E[X2] E[X]=0.8 Y=X2的概率分布为 E[Y]=7.2

  10. 中心矩 原点矩 k=2 方差 各阶矩(中心矩、原点矩)

  11. 第二节 随机变量函数分布

  12. 一维随机变量函数分布 情况1： 随机变量Y是随机变量X的单调函数，并存在反函数X=h(Y)，则 情况2： 随机变量Y是随机变量X的多值函数，假设一个Y值对应两个X值， 且X1=h1(Y)和X2=h2(Y)，则

  13. = 一维随机变量函数分布(例) 例2 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，求随机变量 Y=X2的概率密度。 解： Y=X2

  14. 分布 一维随机变量函数分布(例续)

  15. 二维随机变量函数分布 已知二维随机变量( X1 ,X2)的概率分布, g(x1,x2) 为已知的二元函数，Z = g(X1 ,X2) 求：Z 的概率分布？ 当( X1 ,X2 )为连续型随机变量时， 其中

  16. 二维随机变量函数分布(续) 新问题： 已知随机变量X1和X2的联合概率密度为 求随机变量Y1=g1(X1,X2)和Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度? 单值变换函数 X1=h1(Y1,Y2)和X2=h2(Y1,Y2)

  17. 二维随机变量函数分布(例) 例3已知 ( X1 ,X2 )的联合密度函数为 Y = X1 + X2 ,求 f Y (y) 令 解：

  18. y y = 2z z y = z y = z + 1 2 1 1

  19. y 2 y = 2z y= z + 1 z

  20. 二维随机变量函数分布(例) 例4已知 X1和X2是两个独立的正态分布随机变量 求随机变量Z和Φ的联合概率密度。 其中 解：

  21. 二维随机变量函数分布(例) 瑞利分布 均匀分布 平面直角坐标上的两个彼此独立分布的正态随机变量， 经极坐标变换后，其模服从瑞利分布，相位服从均匀分布 且模和相位两个随机变量是相互独立的

  22. 二维随机变量函数分布(例) 例5已知 X1和X2是两个独立的正态分布随机变量 求随机变量Y1和Y2的联合概率密度。 其中

  23. 二维随机变量函数分布(例续)

  24. 二维随机变量函数分布(例续)

  25. 二维随机变量函数分布(例续) 推广至n维高斯随机向量

  26. 第三节 随机变量特征函数

  27. 特征函数的定义 定义： ejuX的数学期望定义为随机变量X的特征函数CX(u) X为离散随机变量时，其特征函数为 X为连续随机变量时，其特征函数为

  28. 特征函数的定义(例) 例6设随机变量X服从正态分布N(0,1)，求它的特征函数。

  29. 特征函数性质 (1)随机变量X的特征函数CX(u)满足 (2) 随机变量X的特征函数为CX(u)， 则Y=aX+b的特征函数为 (3) 独立随机变量X1和X2的特征函数分别为CX1(u) 和CX2(u)， 则Z=X1+X2的特征函数为 给出一种求独立随机变量和的分布新方法。

  30. 特征函数与概率密度之间的关系 一维随机变量X的函数Y=g(X)的概率密度

  31. 特征函数与概率密度之间的关系(例) 例7设随机变量X在 之间均匀分布 求Y=sin X的概率密度函数

  32. 特征函数与概率密度之间的关系(例)

  33. 特征函数与各阶矩之间的关系

  34. 特征函数与各阶矩之间的关系(续)

  35. 特征函数作用 可以简化各阶矩的运算 单 值 函 数 可以简化一维随机变量函数的运算 可以简化独立随机变量和的分布的计算

  36. 第 1 章 随机过程

  37. 本章主要内容： • 随机过程的基本概念 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的微分和积分计算 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 随机过程的相关函数及其性质 • 复随机过程 • 正态过程 • 马尔可夫链 • 泊松过程

  38. 1.1 随机过程的基本概念及统计特性 基本要求： 深入理解随机过程的定义 了解随机过程的几种分类 理解随机过程的概率分布 掌握随机过程的数字特征计算方法 了解随机过程的特征函数

  39. 一、 定义 对接收机的噪声电压作观察

  40. 1 样本函数： ， ， ，…， ，都是时间的函数，称为样本函数。 2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果的函数，记为 ，简写成 。

  41. 定义1：设随机试验E的样本空间 ，若对于每个元素 ，总有一个确知的时间函数 与它对应， 。 对于所有的 ，就可以得到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。 定义2：若对于每个特定的时间 ， 都是随机变量，则称 为随机过程， 称为随机过程 在 时刻的状态。 3. 随机过程的定义：

  42. 4.定义的理解 ： 上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。 作观测时，常用定义1，通过观测的试验样本可得到随机过程的统计特性； 理论分析时，常用定义2，可把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。

  43. 1 和 都是变量 2 是变量而 固定 3固定而 是变量 4 和 都固定 理解： 一个时间函数族 一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值

  44. 随机变量 与时间无关 随机过程 与时间相关的一族随机变量

  45. 例1设具有随机初始相位的正弦波 在 其中A与w0是正常数， 之间服从均匀分布。 判断X(t)是否为一随机过程。 是一族随机变量 是随时间变化的函数，即样本函数。 解： (1) 固定时间t，X(t)是随机变量， (2) 对随机变量Φ做一次试验得到一个结果φ， X(t)是一随机过程。

  46. (2) 离散型随机过程：时间t取值连续，且对随机过程任一时刻 的取值 都是离散型随机变量。 二、 随机过程分类 1. 按随机过程的时间和状态来分类 (1) 连续型随机过程：时间t取值连续，且对随机过程任一时刻 的取值 都是连续型随机变量。

  47. (4) 离散随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如 ， 2 ，…..，n ，且这时得到的随机变量 是离散型随机变量，即时间和状态是离散的。相当于采样后再量化 。 (3) 连续随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如 ， 2 ，…..，n ，且这时得到的随机变量 是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。

  48. 2. 按样本函数的形式来分类 • 不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。 • 确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。

  49. 例2设随机过程定义为： 其中A与-A等概出现，T为一正常数， (1) 画出典型的样本函数图形。 (2) 将此过程归类。 (3) 该过程是确定性过程吗？ 离散型随机过程 不是确定性随机过程

  50. 例3离散型随机过程的样本函数皆为常数， 即X(t)=C=可变常数，其中C为随机变量，其可能值 为C1=1，C2=2和C3=3，它们分别已概率0.6、0.3及0.1 出现。X(t)是确定性过程吗？ X(t)是确定性随机过程

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