Important Terms The Rise of Southern Nationalism/ The Rise of the Republican Party

1. Alguns sistemas multimodais alético-temporais. Samir Bezerra Gorsky CLE-UNICAMP Orientador: Prof. Dr. Walter Carnielli

2. Resumo: O presente trabalho visa relacionar o desenvolvimento histórico das lógicas multimodais alético-temporais com as questões referentes aos problemas vinculados aos “futuros contingentes” e à “necessidade do passado”. Questões estas originárias em obras Aristotélicas, Megáricas e Estóicas. Serão analisados resultados sobre sistemas formais modais tais como S4, S4.3, Kt (temporal).

3. Escola de Mágara • Fundada por Euclides de Mégara. • É uma das “escolas socráticas menores” • Relaciona-se com o eleatismo pela doutrina do ser e pelo método erístico. • Eubulides (continuador de Euclides): Travou polêmica com Aristóteles. • Diodorus Cronus • Alexinos (Elenxinos = refultador)

4. Diodorus Cronus • Megárico • Um jovem contemporâneo de Aristóteles (séc. IV a.C.). • Não temos muitas informações sobre sua vida.

5. Roteiro Histórico • Apresentação do tema (Aristóteles e Diodorus) • Crítica bizantina • Abelardo, Tomás de Aquino e Leibiniz (tratamento positivo) • Lukasiewicz (Tratamento através da lógica trivalente) • Prior e Hintikka (Lógica modal e multimodal)

6. Notação (Prior) Fp será o caso que p Gp sempre será o caso que p Mp é possível (agora) que p Lp é necessário (agora) que p Np é o caso (agora) que não-p Cpq se p, então q Apq p e/ou q Kpq p e q Epq p sse q

7. Modelo Diodoréio • Seja ‘p’ a proposição: ‘uma batalha naval em t1’. (1) Mp em t0 (2) p em t1 (3) Lp em t2 • Aristóteles e Diodorus tenderiam a acreditar que: se 2 vale, então vale 1 e 3.

8. Modelo diodoréio • CMpMNp (cf. Primeiros Analíticos 22a 12-17) • Seja 2’ = Np em t1 • 1 e 2’ são compatíveis • Se 1 vale, então 2’ é provável • 2’ é incompatível com 3

9. Modelo diodoréio • Diodorus identificou ser possível em t0 com ser atual em t1 e necessário em t2. • Ser necessário em t2 significa ser necessário já em t0 • A validade de 2 indica a necessidade de p desde o início (ser necessário em t2 significa ser necessário já em t0).

10. Modelo Diodoréio • A validade de 2’ indica a impossibilidade de p desde o início. • Dados 2, 3 e o “non-sequitur” entre impossibilidades e possibilidades teremos a seguinte conclusão: “não existem possibilidades que não serão atualizadas” • Este argumento é conhecido como “Argumento Mestre” (The Master Argument).

11. O Argumento Mestre • 1. Todas verdades (no passado) são verdades necessárias (no presente). (Premissa) 2. Uma impossibilidade não se segue de uma possibilidade. (Premissa) 3. Se p é verdadeiro agora t(1), ou será verdadeiro t(1+n), então no passado t(0) já era verdadeiro que p seria verdadeiro em t(1) ou em t(1+n). (Premissa)

12. O Argumento Mestre • Para mostrar que: se algo não for atualizado, então não será uma possibilidade. Deve-se assumir Np e então concluir NMp. 4. Np é verdadeiro (agora) (premissa para a prova do condicional) 5. “será o caso que Np” é verdadeiro (no passado) (de 3 e 4) 6. “será o caso que Np” é necessariamente verdadeiro (no passado) (de 1 e 5) 7. “será o caso que p” é impossível (no passado) (de 6)

13. O Argumento Mestre 8. Se p (agora), então “será o caso que p” (no passado) é verdadeiro. (de 3) 9. NMp (agora) (de 2,7,8) 10. Se Np, então NMp (agora) (de 4, 9) • Uma versão mais informal: Se não vai haver algum determinado evento amanhã (por exemplo uma batalha naval) então a suposição de que vai haver tal evento não é meramente falsa mas impossível.

14. A Batalha Naval (Aristóteles) • Aristóteles. De Interpretatione IX (uma lógica com um terceiro valor). • Uma tentativa de solucionar um problema relacionado aos futuros contingentes. • Proposições devem corresponder a fatos. • Eventos situados no futuro possuem uma alternativa real e uma potencial em direções contrárias. • A afirmação e a negação correspondentes a essa proposição terão o mesmo caráter. • Ambas poderão ser verdadeiras ou ambas poderão ser falsas, porém atualmente não podem possuir nenhum valor de verdade (verdadeiro ou falso).

15. A Batalha Naval • Aristóteles Argumenta que não podem valer, ao mesmo tempo, os seguintes casos: a) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é, agora, indeterminado. b) Já é definitivamente verdadeiro ou definitivamente falso que haverá uma batalha naval amanhã.

16. A Batalha Naval • Embora nenhuma das partes da disjunção seja, agora, verdadeira ou falsa, o conjunto inteiro desta disjunção (haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã) é desde já definitivamente verdadeiro.

17. Sistemas formais que tratam das questões referentes a futuros contingentes (necessidade do passado) A lógica de três valores As lógicas modais

18. Lukasiewicz • O problema de se construir uma lógica verofuncional que nos permita trabalhar com proposições “neutras” como as que encontramos nos trabalhos aristotélicos foi atacado, de forma sistemática, em 1920 por Lukasiewicz. • Ele sugeriu que deveríamos considerar as seguintes matrizes:

19. Lukasiewicz

20. Lukasiewicz

21. Lukasiewicz • A partir dessas matrizes (p & q) é equivalente a: ~ (~p v ~q) • Podemos ainda definir (p  q): (p  q) & (q  p) • p v q não é, entretanto, definido como: ~p  q (no cálculo implicacional porém é definido como: (p  q)  p)

22. Lukasiewicz • ~p é definido como: p  • Muitas leis do cálculo proposicional deixam de valer de acordo com os significados dos conectivos dados pelas matrizes acima Por exemplo: (~p  p)  p A lei do terceiro excluído: p v ~p (suponha que p = ½) • Daí temos uma divergência entre a lógica L3 de Lukasiewicz e o que é sugerido no De Interpretatione.

23. Lukasiewicz • A verdade do terceiro excluído é devido ao fato de seus componentes serem contraditórios e não por causa dos seus valores de verdade. • Existe portanto um elemento não-verofuncional no tratamento destas proposições. • Prior [3] considera que o aparecimento da não-verofuncionalidade em tais proposições é devido a uma confusão com relação à diferenciação das duas seguintes sentenças:

24. Lukasiewicz i) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é verdadeira de acordo com regras verofuncionais, somente quando pelo menos uma das duas componentes for verdadeira. ii) “Amanhã será o caso da seguinte sentença: há ou não há uma batalha naval”

25. Lukasiewicz • A sentença i), apesar de salvar a verofuncionalidade, não possui validade para todos os casos. (considerando o sistema tri-valorado de Lukasiewicz • A sentença ii) não é verofuncional dado que o conectivo de disjunção é governado pelo operador não-verofuncional ‘amanhã será o caso...’ (tal operador não aparece no sistema tri-valorado de Lukasiewicz)

26. Problema! • Como tratar as proposições futuras em matéria contingente a partir de seus valores de verdade (inclusive o “neutro”: ½ ) e ainda manter as características lógicas básicas como por exemplo a verofuncionalidade?

27. Bivalência X Verofuncionalidade • Crisipo e Epicuro admitiam aimplicação do princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo universal. • Crisipo aceita o princípio sem restrição e portanto o necessitarismo. • Epicuro recusa o determinismo e daí nega a universalidade irrestrita do princípio. (cf. [1] p 173)

28. Bivalência X Verofuncionalidade • Podemos considerar duas etapas ordenadas das posições citadas acima. Primeiro: Vale a implicação do princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo lógico? Princípio de bivalência irrestrito  Necessitarismo lógico • Segundo: Vale o princípio de bivalência irrestrita?

29. Bivalência X Verofuncionalidade • Roman Suszko (1970’s) “there are but two logical values, true and false”. • Wójcicki-Lindembaum: Mostra que qualquer lógica tarskiana tem uma semântica multi-valorada. • Suszko-daCosta-Scott: mostra que qualquer semântica multivalorada pode ser reduzida a uma semântica bi-valorada. • Por que trabalhar com lógicas multivaloradas?

30. Bivalência X Verofuncionalidade • Porque precisamos de uma ponte (algumas vezes) entre a bi-valoração e a verofuncionalidade. (de um ponto de vista pragmático). • Os resultados redutivos de Suszko são não construtivos. • Existe uma maneira de se construir semânticas bi-valoradas para qualquer lógica que tenha uma semântica verofuncional finito-valorada e uma linguagem suficientemente expressiva. • É indicada ainda uma maneira de se construir um sistema canônico adequado de seqüentes ou tableaux.

31. Lógicas modais • Proposta: Trabalhar o assunto usando lógicas modais e multimodais • Primeiras referências: Hintikka e Prior. • Sistemas de interesse: Kt (temporal), S4 e S4.3 (Diodoréio)

32. S4 • CLpLLp não pertence ao sistema T • Modalidades Iteradas (S4 é um sistema caracterizado pela aplicação iterada de L) • CLLpLp é um teorema de T (por substituição em CLpp

33. Bibliografia [1] Balthazar Barbosa Filho (UFRGS/CNPq). Aristóteles e o princípio da Bivalência. Analytica, Vol. 9 n 1, 2005. [2] J.-Y. Beziau (ed.). Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo Coniglio e João Marcos. Two's Company: “The Humbug of Many Logical Values” In Logica Universalis pp 169-189. Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland 2005. [3] Arthur Prior. Three-valued and Intuitionist Logic in Formal Logic. Claredon Press, Oxford 2a ed. 1962.

34. Bibliografia [4] Mondolfo, O pensamento Antigo. Ed mestre jou. São Paulo. 1971.