3. COMPONENTES PRINCIPALES

1. 3. COMPONENTES PRINCIPALES • Introducción • Componentes principales • Componentes principales muestrales • Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores 1

2. Introducción • Reducir la dimensión manteniendo la máxima información posible. • Interpretación. • Paso previo al uso de otras técnicas. 2 COMPONENTES PRINCIPALES

3. Componentes principales Consiste en construir combinaciones lineales de las variables originales. • Media: • Varianza: • Covarianza: 3 COMPONENTES PRINCIPALES

4. Componentes principales • Primera componente principal: combinación lineal de X tal que • Segunda componente principal: combinación lineal de X tal que 4 COMPONENTES PRINCIPALES

5. Componentes principales • ... • i-ésima componente principal: combinación lineal de X tal que 5 COMPONENTES PRINCIPALES

6. Componentes principales Teorema Sea con matriz de covarianzas  y autovalores y autovectores 6 COMPONENTES PRINCIPALES

7. Componentes principales Entonces las componentes principales son: Además, 7 COMPONENTES PRINCIPALES

8. Componentes principales Teorema Sea con matriz de covarianzas  y pares de autovalores y autovectores 8 COMPONENTES PRINCIPALES

9. Componentes principales Sean las componentes principales: Entonces 9 COMPONENTES PRINCIPALES

10. Componentes principales Consecuencia La proporción de varianza explicada por la componente es: Proposición 10 COMPONENTES PRINCIPALES

11. Componentes principales Teorema Sean X, , , , y los pares de autovalores y autovectores de , Entonces las componentes principales de Z = (V1/2)-1 (X – μ) son: Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con  que con  11 COMPONENTES PRINCIPALES

12. Componentes principales Además, y se cumple que Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con  que con  12 COMPONENTES PRINCIPALES

13. Componentes principales muestrales Teorema Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de Sn Entonces la i-ésima componente principal muestral es: • La varianza muestral de es • Varianza total muestral: • Covarianza muestral de e es 0. • Correlación muestral: 13 COMPONENTES PRINCIPALES

14. Componentes principales muestrales Teorema Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de R Entonces la i-ésima componente principal muestral es: 14 COMPONENTES PRINCIPALES

15. Componentes principales muestrales • Varianza muestral de es • Varianza total muestral: • Covarianza muestral de e es 0 • Correlación: 15 COMPONENTES PRINCIPALES

16. Componentes principales muestrales Ejemplo 16 COMPONENTES PRINCIPALES

17. Componentes principales muestrales Autovalores y autovectores Calcular componentes principales sobre las variables tipificadas. 17 COMPONENTES PRINCIPALES

18. Autovalores p 1 2  i  n. 1 2    i    n nº c.p. Componentes principales muestrales Diagrama del precipicio Sirve para determinar cuántas componentes principales utilizar. Incluye el número de posibles componentes principales y los autovalores ordenados en los ejes x e y, respectivamente. Nota: Cuando el gráfico se hace horizontal, no se utilizan más componentes principales Se toman i componentes principales 18 COMPONENTES PRINCIPALES

19. Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores Dada , sean autovalores de  con (no se repiten). Sean X1, X2,..., Xn i.i.d. y los siguientes autovalores y autovectores muestrales 19 COMPONENTES PRINCIPALES

20. Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores (i) Comportamiento asintótico de los autovalores d (ii) Comportamiento asintótico de los autovectores d (iii) Cada es independiente de los elementos de 20 COMPONENTES PRINCIPALES

21. Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores Ejemplo Construir un intervalo con 1- = 0,95 para 1, siendo: 21 COMPONENTES PRINCIPALES

22. 22 EJEMPLOS

24. Componentes principales con la matriz de correlaciones 24

25. 25 EJEMPLOS

26. 26 EJEMPLOS

27. 27 EJEMPLOS

29. 29 EJEMPLOS

33. 33 EJEMPLOS

34. 34 EJEMPLOS

35. 35 EJEMPLOS

36. 36 EJEMPLOS

37. 37 EJEMPLOS

38. 38 EJEMPLOS

39. 39 EJEMPLOS

40. 40 EJEMPLOS

41. 41 EJEMPLOS

42. 42 EJEMPLOS