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反矩陣與行列式. 東海大學物理系 ‧ 數值分析. Definition. I: 單位矩陣， I ij =d ij 對一 n×n 矩陣 A ，若存在另一 n×n 矩陣 B 使得 AB=I ，則稱 A 為可逆（ invertible ）或非奇異（ nonsingular ）矩陣， B 則可寫為 A -1 若 A -1 不存在，則稱 A 為不可逆（ noninvertible ）或奇異（ singular ）矩陣. 利用高斯消去法求矩陣.
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反矩陣與行列式 東海大學物理系‧數值分析
Definition • I:單位矩陣，Iij=dij • 對一 n×n 矩陣A，若存在另一 n×n 矩陣 B 使得 AB=I，則稱 A 為可逆（invertible）或非奇異（nonsingular）矩陣，B 則可寫為 A-1 • 若 A-1不存在，則稱 A 為不可逆（noninvertible）或奇異（singular）矩陣
利用高斯消去法求矩陣 • 若已知矩陣 A 之元素為 aij for 1≦i,j≦n，欲求A-1之元素 bij for 1≦i,j≦n，根據定義：
利用高斯消去法求矩陣 • 根據矩陣乘法的定義，我們可以將這個矩陣方程式拆成 n 個 n 變數聯立方程式 • aij為已知，是方程式的係數，bij則是未知數，分別以高斯消去法解出這 n 組方程式，即可求出全部的 bij
利用高斯消去法求矩陣 • 我們也可以將全部的方程式合併，寫成一個 n×2n 的增廣矩陣： • 之後再使用高斯消去法，將前半部變成單位矩陣，後半部即是反矩陣的解
行列式（Determinant） • 行列式的定義：
以高斯消去法求行列式值 • 根據行列式以上的特性，我們可以用高斯消去法將原矩陣變為上三角或下三角矩陣，再將對角線元素相乘即可得行列式值，例如： 可得行列式值為 2×(1/2) ×3×13=39
上下三角矩陣分解 • 在高斯消去法的過程中，我們可以將原始矩陣A分解為兩個矩陣相乘A=LU，其中L為上三角矩陣、U為下三角矩陣
上下三角矩陣分解 • 使用時機：當程式需要解許多次與A有關的線性系統時，先將A做上下三角分解，可得到較高的計算效率 • L即為高斯消去所得之上三角矩陣，U的對角線元素皆為一，其他非零元素則為消去過程中之mki=aki/aii，如下例所示：
A U L
