第二章平面力系

第二章平面力系 山东科技职业学院机电学院

第一节 平面任意力系的概念、简化及简化结果的讨论力系的简化一平面任意力系的概念力系中各力的作用线都在同一平面内，他们即不汇交于一点，也不全部平行，称为平面任意力系山东科技职业学院机电学院

M －F F F Mx F F My 力向一点平移实例山东科技职业学院机电学院

二平面力系简化结果及其讨论 平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩可能有以下几种情况：称该力系平衡该力系等效一个合力偶该力系等效一个合力仍然可以继续简化为一个合力，方法如下： O O O O’ O’ 只要满足：山东科技职业学院机电学院

FT C h FQ －FT e 任意力系简化结果的应用研究 :力系如图所示,若 FT、FQ、h、e等为已知，求： 1. 向 C 点简化结果 2. 最后简化结果山东科技职业学院机电学院

第二节平面任意力系的平衡方程及其应用 一、平面任意力系的平衡方程平面问题（设为xy平面），则平衡方程为：上式称为平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分别为：条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直条件是：ABC三点不能共线山东科技职业学院机电学院

二、平面任意力系平衡方程的应用及解题步骤 例2-1一支架由杆AB与AC组成，A、B与C均为铰链，在销钉A上挂有重量为W的重物，试求各杆受力。假设各杆的重量不计。 B 首先需要确定分析对象 A 如果以杆AB为对象，AB杆为二力杆 W 30º W C 一共2个未知力，一个平衡方程，无法求解如果以杆AC为对象，同样也无法求解因此，应该以销钉A为分析对象山东科技职业学院机电学院

下面的问题是如何确定 和这3个力构成平面汇交力系，建立参考系 A 静力平衡方程为 W B A 30º W W C 这个例子还有其他方法吗？山东科技职业学院机电学院

例2-2图示简支梁上作用一分布载荷，其单位长度上受力的大小称为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束力。首先在 O点建立参考系第二步作受力分析 • 主动力为分布载荷（忽略重力），且为一平行力系 • 约束反力： • O 为固定铰支座，A 为活动铰支座。 • 画出其反力山东科技职业学院机电学院

第三步，求主动力的合力 在坐标 x 处的载荷集度为 qx/l。在此处取的一微元dx，梁在微元段d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为将该力系中心的位置坐标记为 xC 山东科技职业学院机电学院

最后，利用平面力系的平衡方程求得 3 个未知的约束反力：由：由：由：山东科技职业学院机电学院

三、平面任意力系的特殊形式 1.平面汇交力系 2.平面平行力系山东科技职业学院机电学院

平衡方程应用举例 l FP FP l l l l l D D B B A A l l l A B A B C C C M=FP l M=FP l C l 图示结构，若 F P和 l 已知，确定四种情形下的约束力例题 2-3 平衡方程应用举例山东科技职业学院机电学院

l FP l l l l A B A B C M=FP l C l 平衡方程应用举例第一种情形第二种情形例题2-3 山东科技职业学院机电学院

FP l l l l D D B B A A l C C M=FP l l 平衡方程应用举例第三种情形第四种情形例题2-3 山东科技职业学院机电学院

l FP FP l A D B l C FAy l l FAx D A B d FBC C 例题2-3 第一种情形山东科技职业学院机电学院

FP d FAy C l l FAx FBC=22FP D A B FBC 例题2-3 第一种情形 mA ( F ) = 0 : FBC  d - FP  2l = 0 FAy l -FP l = 0 mB ( F ) = 0 : FAy= - FP FAx+FBCcos = 0 Fx = 0 : FAx=-2FP 山东科技职业学院机电学院

l l D A B l FAy -FBy´ l M=FP l l FAx C FBx´ D A B FBy´ B -FBx´ C M=FP l FCy´ FCx´ 例题2-3 第二种情形分析BC和 ABD杆受力山东科技职业学院机电学院

B C FBx´ FBy´ M=FP l = - — FP ¯ 2 FCy´ 2 FCx´ 例题2-3 考察BC杆的平衡第二种情形  Fx = 0 :FBx´-FCx´=0FCx´= FBx´  Fy = 0 :FBy´-FCy´=0FCy´= FBy´  MB ( F ) = 0 : FCy´lBC+FP l = 0 FCy´= FBy´ 山东科技职业学院机电学院

FAy C -FBy´ l l FAx D A B ¯ 2 FBx´ = — FP -FBx´ 2 例题2-3 考察ABD杆的平衡第二种情形  mA ( F ) = 0 :  mB ( F ) = 0 : FAy= 0 FAx= -FP  mC ( F ) = 0 : 山东科技职业学院机电学院

l l D A B l l M=FP l M=FP l l C FB´ D FA A B B FB C FC 更简单的方法例题2-3 第二种情形 ? 山东科技职业学院机电学院

l l D A B l M=FP l M=FP l C l l FA D B A l C FC 例题2-3 关于平衡对象的选择第二种情形 ? 能不能以整体为平衡对象山东科技职业学院机电学院

FP FP l l D B A l C l l FA D B A l FCy FCx C 例题2-3 第三种情形山东科技职业学院机电学院

FP B A E C l l FA D FCy FCx 例题2-3 第三种情形  mA ( F ) = 0 : FCx l -FP  2l = 0 -FA l - FP  2l = 0  mC ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA  l = 0  mE ( F ) = 0 : FCx= 2FP , FCy= FP , FA= -2FP 山东科技职业学院机电学院

l l D B A C M=FP l M=FP l l l FA D B A FC l C 例题2-3 第四种情形 MC(F) = 0 : FA = FC = FP 山东科技职业学院机电学院

r l l l l B C E l l D 1.5l 1.5l FP A 已知: FP、l、r 求 : A、D 二处约束力例题2-4 第一种情形山东科技职业学院机电学院

r l l l l FP C B E l l D 1.5l 1.5l A 例题2-4 第二种情形山东科技职业学院机电学院

q r l l l l FP C B E l l D 1.5l 1.5l A q—载荷集度例题2-4 第三种情形山东科技职业学院机电学院

H 例题2-4 r l l l l FP 第四种情形 C B E l l D 1.5l 1.5l A 问题：在不改变结构和载荷FP 的位置与方向的情形下，怎样改变缆索CH的位置，才能使A 端的约束力偶MA减小  山东科技职业学院机电学院

第三节静定与静不定 一、静定与静不定问题的概念从前面的讨论已经知道，对每一种力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的。对于一个平衡物体，若独立平衡方程数目与未知数的数目恰好相等，则全部未知数可由平衡方程求出，这样的问题称为“静定”问题山东科技职业学院机电学院

工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性，常设置多余的约束，而使未知数的数目多于独立方程的数目，未知数不能由平衡方程全部求出，这样的问题称为“静不定”问题或“超静定”问题。工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性，常设置多余的约束，而使未知数的数目多于独立方程的数目，未知数不能由平衡方程全部求出，这样的问题称为“静不定”问题或“超静定”问题。二、物体系统的平衡工程中的结构，一般是由几个构件通过一定的约束联系在一起的，称为物体系统。如下图所示的三角拱。作用于物体系统上的力，可分为内力和外力两大类。山东科技职业学院机电学院

下图是超静定平面问题的例子。图a是平面平行力系，平衡方程是2个，而未知力是3个，属于超静定问题；图b是平面任意力系，平衡方程是3个，而未知力有4个，因而也是超静定问题。对于超静定问题的求解，要考虑物体受力后的变形，列出补充方程，这些内容将在后续课程中讨论。下图是超静定平面问题的例子。图a是平面平行力系，平衡方程是2个，而未知力是3个，属于超静定问题；图b是平面任意力系，平衡方程是3个，而未知力有4个，因而也是超静定问题。对于超静定问题的求解，要考虑物体受力后的变形，列出补充方程，这些内容将在后续课程中讨论。山东科技职业学院机电学院

系统外的物体作用于该物体系统的力，称为外力；系统内部各物体之间的相互作用力，称为内力。 对于整个物体系统来说，内力总是成对出现的，两两平衡，故无需考虑，如下图b的铰C处。而当取系统内某一部分为研究对象时，作用于系统上的内力变成了作用在该部分上的外力，必须在受力图中画出，如下图中铰C处的FCx和FCy。山东科技职业学院机电学院

物体系统平衡是静定问题时才能应用平衡方程求解。一般若系统由n个物体组成，每个平面力系作用的物体，最多列出三个独立的平衡方程，而整个系统共有不超过3n个独立的平衡方程。若系统中的未知力的数目等于或小于能列出的独立的平衡方程的数目时，该系统就是静定的；否则就是超静定的问题。物体系统平衡是静定问题时才能应用平衡方程求解。一般若系统由n个物体组成，每个平面力系作用的物体，最多列出三个独立的平衡方程，而整个系统共有不超过3n个独立的平衡方程。若系统中的未知力的数目等于或小于能列出的独立的平衡方程的数目时，该系统就是静定的；否则就是超静定的问题。山东科技职业学院机电学院

第四节平面静定桁架内力的计算 桁架是由一些细长杆在其两端连接(利用焊接或铆接等方法)而成的几何形状不变的结构。它在桥梁、起重机与屋架等工程对象中得到广泛的应用。如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。本节的研究对象为平面桁架。在载荷作用下计算桁架的内力是研究桁架的主要目的之一。 1、平面桁架的静力学模型 (1)构成桁架的细长杆均假定由光滑的圆柱铰连接。杆的轴线通过圆柱铰的中心，称这些中心点为节点；（2）桁架上的载荷均作用于节点上。杆的自重不计，如果需考虑的话，将其分配到两个节点上。二力杆构成桁架的杆件均为山东科技职业学院机电学院

2、桁架的内力计算 • 桁架都是二力杆，其内力一定沿杆的轴线方向，因此，内力为拉力或压力。 • 统一设拉为正、压为负。 # 内力计算的节点法：利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。 # 内力计算的截面法：将桁架部分杆切断，利用桁架子系统的平衡方程计算杆的内力。山东科技职业学院机电学院

[例2-5]图 a 所示一桁架，F = 5kN，b = 1.5m。求杆1、2 与 6 的内力。先建立参考基，如图以桁架整体为对象，设定固定支座 A与滑动支座 B 约束力的正向如图所示。计算支座的约束反力：山东科技职业学院机电学院

计算杆1的内力： 以节点A为对象，其受力图如图b所示杆1的长度为：山东科技职业学院机电学院

计算杆2 的内力： 在I-I处将桁架分为两个子系统，将左子系统为对象。其受力图如图 c 所示。杆2 的长度为：对点A 的力臂：计算杆6 的内力：以节点C 为对象，其受力图如图d。山东科技职业学院机电学院

4、零杆问题的讨论 桁架中内力为零的杆件称为零杆。如上例的杆6。零杆的判断对桁架内力的计算具有积极的意义。利用节点法不难得到判断零杆的结论： • 一节点上有三根杆件，如果节点上无外力的作用，其中两根共线，则另一杆为零杆(见图 a)； • 一节点上只有两根不共线杆件，如果节点上无外力的作用，则两杆件均为零杆(见图 b)； • 一节点上只有两根不共线杆件，如果作用在节点上的外力沿其中一杆，则另一杆为零杆(见图 c)。上例中已知杆6为零杆，考虑节点D，由结论(1)，可知杆9为零杆。同理可推知，杆11与12也为零杆。山东科技职业学院机电学院

本章到此结束， 同学们再见！！山东科技职业学院机电学院

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