小テスト解説

1. 小テスト解説 室堂の標高は 2430 mである。体重が 50 kgのA君が室堂から、2670 mのカルデラ展望台まで登った。 A君の位置エネルギーはどれだけ増加したか？ただし、重力加速度は g = 10 m/s2とせよ。 U重力= 50×10×(2670－2430) = 500×240 = 120000 U重力= mgh 答： 120000 J m1m2 r 7ページで求めた万有引力による位置エネルギー： U万有(r) =－G から万有引力による力 F(r)を求めよ。 x を r で置き換えた ここで r はスカラー dU dx 保存力による位置エネルギーから 力（保存力）を導くことができる。 F(x) =－ １次元： 力 ＝ 位置エネルギーの空間的な勾配 m1m2 r2 m1m2 r 1 r dU dr d dr d dr F(r) =－ =－ (－G) = Gm1m2 ( ) = －G Ｑ＆Ａ Ｑ：力の正負が時折こんがらがります。 位置エネルギー：U(r)（スカラー） 力：F(r) （ベクトル） 位置エネルギー：基準点の位置エネルギーをU = 0 とし、その相対的な値で表す。 よって正負がこんがらがることはないと思います。 位置エネルギーは、座標軸をどのようにとっても、同じ場所の位置エネルギーは変化しない。 m 例：物体の位置エネルギーは、 軸を鉛直上向きにとっても 鉛直下向きにとっても U = mghで変わらない。 （基準点は地面 r0） h 地面 r0 第1２回 （6/16） 1ページ

2. Ｑ＆Ａ（つづき） 力も、座標軸をどのようにとっても、物体に働く力自体は変化しない。 ただ、力はベクトルなので、座標軸が異なると、その座標軸で表現する数値は異なる。 例：物体に働く重力は、 軸を鉛直上向きにとっても 鉛直下向きにとっても 物体に働く重力自体は変化しない。 しかし、鉛直上向きの軸を用いて 重力 Fを表現すると、－mg 鉛直下向きの軸を用いて 重力Fを表現すると、mg となる。 m F h 地面 r0 Ａ：力の正負に、あまり神経質にならなくてもよい。自分で力の方向がイメージできていればよい。 （イメージできていれば、正負がどうでも実用上問題ない） Ａ君の体重は 60 kgである。地上にいるＡ君の万有引力（地球とＡ君の間に働く）による 位置エネルギーを求めよ。地球の半径は 6400 km、地球の質量は、6.0×1024 kgとし、 重力定数Gは、6.7×10－11 とせよ。地球の質量はすべて地球の中心にあると仮定してよい。 計算機を持っていない場合は、適当に値を変えてよい。例：6400 km  10000 km m1m2 r 万有引力による位置エネルギー： U万有(r) =－G U(6.4×106) = －6.7×10－11× U ≒ －3.8×109 6.0×1024×60 6.4×106 答：－3.8×109 J 問題 Ａ君が地球の引力から離脱するためには、地表での初速度がいくらあればよいか？ また、その初速度の方向は関係があるか？空気抵抗・太陽・自転の影響は無視せよ。 実際には、地球は太陽の引力の影響を受けている。地球の自転を考えると・・・ 第1２回 （6/16） 2ページ

3. 保存力を位置エネルギーから導く（３次元の場合） 教科書p62～p63 r r0 r0 r ∫ ∫ U(r) =－ F保(r)・ds = F保(r)・ds （r0：位置エネルギーの基準点） （復習）　位置エネルギー 質点が rから基準点 r0に戻る時に保存力 F保 がする仕事。 （仕事として取り出すことのできるエネルギー） 位置 rにある質点が持っているエネルギー 0 x x 0 ∫ ∫ U(x) =－ F(x)・dx = F(x)・dx （基準点は x = 0とした） １次元の場合 １次元の場合、位置で決まる力はすべて保存力 いちいちF保(x)と書かないが、書いてもよい 位置エネルギー Uは、保存力 Fを位置で積分したもの ↓ 保存力 Fは位置エネルギーUを位置で微分したもの dU dx =－F(x) 前回の復習 dU dx F(x) =－ 一般の保存力 F = (Fx, Fy, Fz)の場合と位置エネルギー U(r) = U( x, y, z )の場合 ∂U ∂y ∂U ∂z ∂U ∂x Fy =－ Fz =－ Fx =－ ∂U ∂x は、yと zを一定に保って xで微分したもの（xによる偏微分） U( x+Dx, y, z )－U( x, y, z ) Dx ∂U ∂x = lim 偏微分の定義： Dx0 dU dx U( x+Dx )－U( x ) Dx （参考）微分の定義（U(x) の場合）： = lim Dx0 第1２回 （6/16） 3ページ

4. ∂U ∂x なぜFx =－ かというと・・・ W = F・s = (Fx,Fy,Fz)・(－Dx,0,0) W保(x+Dx,y,z)(x,y,z) = －FxDx U( x+Dx, y, z )－U( x, y, z ) Dx ∂U ∂x = lim 偏微分の定義： Dx0 －FxDx Dx ∂U ∂x = lim = －Fx Dx0 グラディエント（gradient:勾配・傾斜）と呼ばれるベクトルの演算子 ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∇= ( , , ) U(r)はスカラーであるが ∇U(r)はベクトルである。 を用いると F(r) =－∇U(r) ベクトルの成分を用いて書くと ∂U ∂x ∂U ∂y ∂U ∂z ( Fx, Fy, Fz ) =－( , , ) 問題 万有引力による位置エネルギー Uは、U(r) = －Gである。 左下の図のようにベクトル rをとったとき、質量 m2の物体に働く万有引力 F(r)を求めよ ヒント： r = (x, y, z) 、r = (x2+y2+z2)1/2とし、F(r) = －∇U(r) を用いよ。 m1m2 r m2 r m1 簡単な位置エネルギーの式から、全３次元空間の、３次元の保存力が求まるってすごくない？ 第1２回 （6/16） 4ページ

5. 問題 ４ページの問題において左下の図のようにベクトル rをとったとき、 質量 m1の物体に働く万有引力 F(r)はどうなるか？ m2 r m1 保存力の条件 保存力とは、質点が任意の点Aを出発して任意の点Bに行く間に、 力の行う仕事が途中の道筋によらず一定な力である。 B 道筋１ 保存力 WAB = F(r)・ds は道筋によらず一定 B A ∫ 道筋２ A 閉曲線C 質点が、任意の閉曲線を一周する際に保存力F(r)がする仕事は ∫ F(r)・ds = 0 ・・・① C 上の式は、力 F が保存力であるための必要十分条件 （上の式が任意の閉曲線で成り立てば、力 F は保存力である。） 詳しくはやらないが、∇×F(r) = 0 も力Fが保存力であるための必要十分条件 これは、①式（積分形）の微分表示である。（試験には出ません） ベクトル積 前にやった内積（スカラー積）に対して外積ということもある 単なる掛け算の時と ベクトル積の場合が あるので注意が必要 ベクトルとベクトルの 間にある時は ベクトル積である。 A×B = ( AyBz－AzBy, AzBx－AxBz, AxBy－AyBx ) ∂Fz ∂y |A×B| = |A||B| sin q 方向はA, Bを含む面に垂直 第1２回 （6/16） 5ページ

6. エネルギー保存則（教科書p63） エネルギーの形態は変化し、存在場所も移動するが、その総量は常に一定で 増加したり、減少したりすることはない。 問題：例にならってエネルギーの形態の変化の具体例を図に書き込め 力学的エネルギー 運動エネルギー 位置エネルギー 燃焼 化学エネルギー 熱エネルギー 電気エネルギー 原子力・核エネルギー 蛍光灯 光・電磁波のエネルギー 力学的エネルギー保存則 「力学的エネルギー」　＝　「運動エネルギー」　＋　「位置エネルギー」 上の図で、摩擦等のために力学的エネルギーから熱エネルギー等への散逸がなければ 力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は一定である。 問題 Ａ点におけるジェットコースターの速度を求めよ。空気抵抗等の摩擦は無視せよ。（g = 10 m/s2） ただし、ジェットコースターはＢ点より初速度0で動きだすとする。 Ｂ 20 m Ａ ニュートンの運動方程式を使って、運動の時間的変化を解析しなくても、エネルギー保存則を使うと簡単に解けることがある 第1２回 （6/16） 6ページ

7. 熱 水 1 gの温度を 1℃上昇させるのに必要な熱量（エネルギー）は、1 cal （カロリー） 熱の実用単位：1 cal = 4.2 J 例題 やかんの中に 20 ℃の水が 1.5 ℓ （リットル）入っている。この水の温度を 80 ℃まで上昇させるのに 必要な熱量はどれだけか？１ℓ = 1000 cm3、水1 cm3は1 g 答： cal 例題 上の加熱をＩＨクッキングヒーターで行ったとする。使用した電気エネルギーの 90 %が水の加熱に 使用されたとすると、必要な電気エネルギーはどれだけか？calと Jで答えよ。1 cal = 4.2 Jとせよ。 また、IHクッキングヒーターが 2000 Wだったとすると、加熱に何秒かかるか？ 答： cal J秒 摂取・消費カロリー 成人男性の１日の消費カロリーは、約2000～2500kcal である。 （注意）摂取・消費カロリーでは、1 kcal を 1 カロリーということがある。 最近はちゃんとキロカロリーとか kcal と書いてあることが多くなった。 例題 室堂の標高は 2430 mである。体重が 50 kgのA君が室堂から、2670 mのカルデラ展望台まで登った。 このときのＡ君の消費カロリーはどれだけか？ただし、消費カロリーの 20%が位置エネルギーになった とする。（筋肉の効率は100%でないし、肺や心臓もエネルギーが必要）1 cal = 4 J, g = 10とせよ。 答： kcal 第1２回 （6/16） 7ページ

8. ヘリウムガス（試験には出ませんが・・・重要、教科書p155参照）ヘリウムガス（試験には出ませんが・・・重要、教科書p155参照） 気体の絶対温度 ∝ 気体分子の平均運動エネルギー 3 2 1 2 気体分子１個あたりの平均運動エネルギー m<v2> = kBT m は気体分子の質量、T は絶対温度、vは気体分子の速度、<v2> は、v2の平均、　 kBはボルツマン定数、kB = 1.38×10－23[J/K] 大気の主成分 N2もヘリウム Heも同じ 300Kなら、その１分子あたりの平均運動エネルギーは同じ N2の分子量：28、Heの原子量：4、N2分子の質量は Heの 7倍 ↓ He原子の平均速度は、N2分子の平均速度の√7 倍 ちなみに 300 K（27℃）における Heの平均速度は約1360 m/s、N2の平均速度は、520 m/sである。 気体分子の速度 ≒ 気体の音速である。（音速は気体分子の速度の約1/√3） （厳密には、速度の２乗の平均は７倍だが、平均速度は√7倍より小さい） 発声のしくみ 共鳴振動数は音速に比例 教科書p138参照 ⑤長さの違う筒を耳にあててみよう ←　声がわり君：ヘリウム８０％、酸素２０％ （酸素が入っているので窒息しない。） ヘリウムを吸っても 声帯の振動は あまり変化ないが、 発生する様々な 周波数の音の中で 強調される 共鳴振動数が 高くなる。 ①肺の空気をできるだけ出す。 ②鼻をつまんで、ガスを吸い込む ③何か喋ってみよう。 ④ガスを吸った空気でシャボン玉をとばしてみよう。 第1２回 （6/16） 8ページ

9. 　　　　　　学科学生番号： 氏名： 　 体重 50 kg のＢさんは、ダイエットをしようとエレベーターを使わずに、階段で１階から４階まで上った。 １階と４階の高低差を、12 m とすると、①Ｂさんの重力による位置エネルギーの増加はどれだけか？ 重力加速度gは、10 m/s2とせよ。②また、消費カロリーはどれだけか？消費したカロリーのうち、 20％が位置エネルギーになったと仮定せよ。1 cal は 4 J とせよ。③砂糖 1g が4 kcal とすると、 消費したカロリーは砂糖何グラムに相当するか？ [求め方] 答：①　　　　　　　J②　　　　　　kcal 　③ 　　　　　g ハイブリット車（質量 2 t = 2000 kg ）が、72 km/h （20 m/s）で走行していたが、信号が赤になったので 停止した。このとき運動エネルギーの 100 % を電気エネルギーに変換できたとする。①この１回ブレーキで 蓄積された電気エネルギーはどれだけか？②節約できたエネルギーはガソリンに換算するとどれだけか？ ただし、ガソリンのエネルギーは 1 g あたり 40000 Jとせよ。 答：① J ② g この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら書いて下さい。（特になければ白紙でもよい。） 第12回　6月16日