二无穷小与无穷大和极限的关系

第四节无穷小与无穷大 一无穷小与无穷大的概念二无穷小与无穷大和极限的关系三无穷小的运算性质

一、无穷小与无穷大的概念 1.无穷小极限为零的变量称为无穷小.

1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 注意 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 例如,

> < - < d x 0 x x 0 > f ( x ) f ( x ) M  x x f ( x ) x 0 =  =  f ( x ) ( f ( x ) ). 或 2.无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. M 定义 2 如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么 d X 小 ), 总存在正数 ( 或正数 ), 使得对于适合不等 x X 式 ( 或 ) 的一切 , 所对应的函数值都满足不等式 , 则称函数当 ( 或 ) 时为无穷小 , 记作

1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 注意 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大．

1 = = x ( k 0 , 1 , 2 , 3 , ) L (1) 取 p k p + 2 k 2 p = p + 无界， > y ( x ) 2 k , , y ( x ) M . 当 k 充分大时 k 2 k 1 = = x ( k 0 , 1 , 2 , 3 , ) L (2) 取 p k 2 k 不是无穷大．

二、无穷小与无穷大和极限的关系 1.无穷小与函数极限的关系: 证必要性是时无穷小. 充分性

2. 无穷小与无穷大的关系 即：无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大.

证 (2) 注关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.

= ( 1 ) f ( x ) 0 , f ( x ) 0 . 设且

意义 1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问 题(无穷小）； 2.给出了函数在附近的近似表达式

三、无穷小的运算性质 定理3　同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证：

例如， 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小.

证又设是当时的无穷小，定理4 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小. 使得当时恒有时恒有取则当

例如，当 时，都是无穷小. 推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二 无穷小与无穷大和极限的关系