伏羲文化 对中国数学的影响

1. 伏羲文化对中国数学的影响 侯维民 教授

2. 伏羲文化对中国数学的影响 河图、洛书对中国数学的影响 伏羲八卦对中国数学的影响 伏羲制规矩对中国数学的影响

3. 河图、洛书对中国数学的影响 对数字发展的影响 对整数论的影响 对组合数学的影响 《周易·系辞上》说： “河出图，洛出书，圣人则之” 河图 图 1 洛书

4. 对数字发展的影响 • 《周易·系辞下》说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契” • o-o-o表示3， 表示4，这说明我国在上古时期已有了十进制数的思想。

5. 对数字发展的影响 • 庄子从河图、洛书中发现了下述现象 洛书简化图 河图简化图 图2

6. 对数字发展的影响 • 《周易·系辞上》也说“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十，天数5，地数5，五位相得而各有合；天数二十有五，地数三十；凡天地之数五十有五”。 • 上古时代，我国已有了十进制数的概念和运算

7. 对整数论的影响 • 《周易·系辞上》说：“方以类聚，物以群分” • 上古时代我国已有了整数同余分类的思想，而整数同余分类的思想正是整数论的基础。

8. “周易揲法”的原理:整数同余思想产生了“周易揲法”。《周易·系辞上》说：“大衍之数五十，其用四十有九，分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于 ，以象闰，五岁再闰，故再而后卦。”

9. 整数论的分揲定理: 已知 若 则

10. 对整数论的影响 • 公元二世纪前后成书的《孙子算经》提出了这样一个问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ • 解这个问题相当于现在的解同余式组

11. 对整数论的影响 • 公元13世纪，南宋的秦九韶在《数书九章》里推广了这类问题，得出了著名的“中国剩余定理”或称“孙子定理”，这个定理用现在的语言表述即：设 两两互素，则满足同余式组 的数必然存在，而且构成 以为模的同余类。

12. 对组合数学的影响 • 我国的“洛书”是世界上最早的纵横图 • 宋代数学家杨辉在《续古摘奇算法》中把它作为一个纯数学问题加以研究，得出了构造洛书的一些简单方法 图3 图4 图5

13. 对组合数学的影响 • 杨辉把洛书叫三阶纵横图，他接着又给出了构造四阶纵横图的方法。他说：“术日：以十六子依次第作四行排列（见图6）。先以外四角对换；一换十六，四换十三。后以内四角对换；六换十一，七换十（见图7）” 13 9 5 1 4 9 5 16 14 10 6 2 14 7 11 2 15 11 7 3 15 6 10 3 16 12 8 4 12 8 1 13 图6 图7

14. 伏羲八卦对中国数学的影响 ☰ ☷ ☳ ☴ ☵ ☲ ☶ ☱ 乾 坤 震 巽 坎 离 艮 兑 对数学发展和研究方法的影响 对八进制数和度量衡的影响 对数学辩证思维的影响

15. 对数学发展和研究方法的影响 • 《周易·系辞下》说：“古者包羲氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文与地相宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。” • 刘徽在《九章算术注·原序》（成书于东汉初年）明确指出“昔在包羲氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变。……。按周公制礼而作九数，九数之流，则《九章》是矣”。 • 伏羲这种方法论还使我国古代数学形成了重归纳、重计算、重应用的特点。这与古希腊数学重演绎、重理论、追求纯粹形成了鲜明的对照。

16. 对八进制数和度量衡的影响 • 《汉书·律历志》说：“自伏羲画八卦，由数起” • 《周易·系辞上》说：“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。” • 两仪：阴“--”、阳“”。 • 四象：太阴“”、少阳“”、少阴“”、太阳“=”。 • 八卦：坤“☷”、艮“☶”、坎“☵”、巽“☴”、震“☳”、 兑“☲” 、离“☱”、乾“☰”。

17. 对八进制数和度量衡的影响 • 用数1代表阳爻“”，用数0代表阴爻“--”， 则因 ☰= 三爻--- 位 ☱= 二爻--- 位 ………初爻--- 位 ☷= 图8

18. 对八进制数和度量衡的影响 • 伏羲八卦衍生次序图规定的卦序：“乾一，兑二，离三，震四，巽五，坎六，艮七，坤八。” • 《周易·系辞下》说：“八卦成列” • “☵”表示八进制数的2，“☰”表示八进制数的7，“ ”就表示八进制数的72。由于“文王其囚羡里，盖益易之八卦为六十四卦”（见史记·周本纪），故有“夏人以十进位，周人以八进位” • 八寸为咫，八咫为寻，二寻为常。容量单位是：二十四溢为一升，八斗为一 ，二 为一庾。重量单位是：二十四铢为两，十六两为斤

19. 对数学辩证思维的影响 • 《周易·系辞上》说：“一阴一阳之谓道”， • 《周易·系辞下》说：“阴阳合德，而刚柔有体” • 《周易·说卦传》说：“观变于阴阳而立卦” • 我国最早只使用正数，为了解决方程运算中，只有正数导致的“并减之势不得广通”的弊端，我国先民首先想到了正数的对立面——负数。《九章算术》的《方程》说：“今两算（数）得失相反，要令正负以名之”。《九章算术》还提出了正负数的加减法则，使我国成为世界上最先使用负数的国家 • 当有些事物的数量无法用整数描述时，我国先民想到了整数的对立面——分数

20. 对数学辩证思维的影响 • 利用分与合的辩证关系创造了“出入相补”原理 • 利用二者的辩证关系创造了“逐步逼近法”,刘徽由圆内接正六边形开始，不断地细分圆周，使圆内接正多边形逐步逼近圆周。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣！”

21. 伏羲制规矩对中国数学的影响 • 中国算学史指出：“上古应用规矩二器，制作方园，其源甚远。山东嘉祥县汉武梁祠石室造象，有：‘伏羲氏手执矩，女娲氏手执规’之象。……，益汉人据传说，以规矩二器，为伏羲所制定也。” • 我国周朝初年（约公元前1100年）的数学家商高在世界上最先指出：“勾广三，股修田，径隅五” • 春秋战国时期（约公元前300年—500年），我国的墨翟在所著的《墨经》中已提到点、线、面、方、圆等几何概念 • 我国南北朝时的科学家祖冲之（429-500）还把圆周率值准确到小数点后7位