Лекция №2 Механика Кинематика материальной точки

1. Лекция №2 Механика Кинематика материальной точки АлексейВикторович Гуденко 14/02/12

2. Механика • Механика – наука о движении и равновесии тел. • Механическое движение – перемещение тела относительно других тел. • Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. • Ньютоновская, или классическая нерелятивистская механика – это механика малых (по сравнению со скоростью света) скоростей и больших по (сравнению с массами атомов) масс.

3. Характерные скорости и массы • Скорость света:c = 300000 км/с = 3 108 м/с = 3 1010 см/с Скорость космического аппарата: v ~ 10 км/с. Скоростьорбитального движения Земли: v ≈ 30 км/с. Погрешность: (v/c)2 ~ 10-9÷ 10-8 • Протон в ускорителе: Δv = (c – v) ~ 1см/с;Электрон в ускорителе:Δv = (c – v) ~ 0,1мм/с – к таким частицам ньютоновская механика неприменима:Ускоритель рассчитывается по законам релятивистской механики. • Масса протона mp = 1,6710-27 кг. • Масса электрона me = 9,1110-31 кг.

4. КинематикаОсновные понятия • Кинематика занимаетсяописанием движения без выяснения причин, его вызывающих. • Система отсчёта: тело отсчёта + система координат + часы • Единица длины – метр (м); единица времени – секунда (с) • Модели: • материальная точка – тело, размерами которого при описании движения можно пренебречь. • абсолютно твёрдое тело – тело, деформациями которого в условиях задачи можно пренебречь.

5. Кинематики материальной точки • Описать движение материальной точки означает указать её положение в пространстве в любой момент времени, т.е. установить закон движения материальной точки. • координатный способ:x = x(t); y = y(t); z = z(t) – три степени свободы материальной точки • векторный способ:r = r(t) – радиус-вектор • Траектория движения тела – линия, которую описывает тело в процессе движения • Путь – длина траектории s. • Перемещение – вектор, соединяющий начальное положение точки с конечным: Δr = r – r0 • Для малых перемещенийΔr ≈Δsττ– единичный вектор вдоль Δr

6. Скорость и ускорение • Скорость:v = dr/dt = τ ds/dt = vτ–скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения • Ускорение:a = dv/dt = d(vτ)/dt a = dv/dt τ + v2/R n • aτ= dv/dt – тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости • an = v2/R – нормальная составляющая ускорения направлена по нормали в сторону вогнутости и характеризует быстроту изменения направления скорости. (R – радиус кривизны траектории). • Полное ускорение a2 = an2 + aτ2

7. Y v1 v1 dr = sτ Δvn v v2 v2 Δv Δvτ r r + dr aτ an v 0 X a Скорость и ускорение

8. Относительность движения Закон сложения скоростей • K′поступательно движется относительно системы Кr = r0 + r′  • v = v0 + v′ классический (нерелятивистский) закон сложения скоростей:абсолютная скорость тела vравна векторной сумме относительной скорости v′ и переносной скорости v0движущейся системы отсчёта • a = a0 + a′ a0 = 0  a = a′при равномерном и прямолинейном движении СО относительно друг друга (v0= const) ускорение тела в этих двух системах одинаково

9. Уравнение движения с постоянным ускорением • a = const  • dv/dt = a  v = v0 + at – закон изменения скорости при равноускоренном движении  • dr/dt = v0 + at  r = r0 + v0t +at2/2s = r - r0 = v0t +at2/2 – закон равноускоренного движения

10. Движение по окружности • ω = dφ/dt – угловая скорость. ω– направлен вдоль оси вращения по правилу буравчика. • ε = dω/dt - угловое ускорение • v = [ωr] • aτ = εr – тангенциальное ускорение; an = ω2r = v2/r;an = -ω2r– центростремительное ускорение • T = 2π/ω – период обращения; f = 1/T – частота вращения.

11. Колесо (№ № 1.6;1.8) • x = v0t + Rsinωty = R + Rcosωt • vx = x’ = v0 + ω Rcosωt = v0(1 + cosωt) = 2v0cos2φ/2vy = y’ = - ωRsinωt = - v0sinωt = - 2v0sinφ/2cosφ/2 • Отсутствие проскальзывания: vx(φ = π) = 0  v0 = ωR • v2 = vx2 + vy2 = 4v02cos2φ/2  v = 2v0cosφ/2 = ωDcosφ/2 = ωAB • радиус кривизны: a = a’a = an = v02/R = (2v0)2/rкр rкр= 4R