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专题复习 —— 圆

专题复习 —— 圆. 本章知识结构图. 圆的对称性. 圆的基本性质. 弧、弦圆心角之间的关系. 同弧上的圆周角与圆心角的关系. 点和圆的位置关系. 三角形的外接圆. 与圆有关的位置关系. 直线和圆的位置关系. 切线. 三角形内切圆. 圆和圆的位置关系. 圆. 等分圆. 正多边形和圆. 弧长. 有关圆的计算. 扇形的面积. 圆锥的侧面积和全面积. A. ．. O. ．. A. B. C. O. ．. ．. B. C. ．. 三角形的外接圆与内切圆 :. 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.

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Presentation Transcript

  1. 专题复习 ——圆

  2. 本章知识结构图 圆的对称性 圆的基本性质 弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系 点和圆的位置关系 三角形的外接圆 与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆 圆和圆的位置关系 圆 等分圆 正多边形和圆 弧长 有关圆的计算 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积

  3. A ． O ． A B C O ． ． B C ． 三角形的外接圆与内切圆: 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点. 不在同一直线上的三点确定一个圆.

  4. 三角形的内切圆、内心 ⑴和三角形三边都相切的圆叫三角形的 内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心， 它是三角形三内角角平分线的交点。 ⑵三角形内心到三边的距离相等。 ⑶任何一个三角形都有唯一的内切圆。 注意与三角形的外心比较（外心是三角形三边 中垂线的交点，到三顶点的距离相等）

  5. A B C 特别的: 等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2. O D

  6. A D A F ┗ ┗ ┗ O A D ● 1 P ┗ ┓ O 2 F E O ● ┗ ● ● ┏ ┓ ┏ B E C B B C ●O 切线长定理及其推论: • 从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. ∵PA,PB切⊙O于A,B ∴PA=PB ∠1=∠2 • 直角三角形的内切圆半径与三边关系. • 三角形的内切圆半径与圆面积.

  7. A A A B C ┐ B C ●O ●O ●O C B 三角形的外心是否一定在三角形的内部？ 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.

  8. 2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠AOC=140°，求∠B的度数．2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠AOC=140°，求∠B的度数． D 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 CD. ∵ ∠ AOC=140 ° ∴ ∠ D=70° ∴ ∠ B=180°－70°=110 ° 3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______. 2或4cm

  9. 如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°，求∠A的度数．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°，求∠A的度数．

  10. 4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？

  11. 5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？ C 7 B P 14 A O 综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径

  12. 专题一：与圆有关的辅助线的作法： 辅助线， 莫乱添， 规律方法记心间；圆半径， 不起眼， 角的计算常要连，构成等腰解疑难； 弦与弦心距， 亲密紧相连； 切点和圆心， 连结要领先； 遇到直径想直角， 灵活应用才方便。

  13. O A B ∟ C D E O ． A B C S= πAB2 常见的基本图形及结论: 1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,则: AC=BD 若大圆的弦切小圆于C,则 AC=BC ． 两圆之间的环形面积 ∟

  14. 2.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O交底边BC于点D,则:2.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O交底边BC于点D,则: A 点D是BC的中点. O C B D

  15. ． (2) ∠COD= 900- ∠APB 3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,则: ． A C ． E P O ． D B (1) △PCD的周长=2PA

  16. A A ． ． (1) ∠DEF= 900- ∠A ． ． ． ． B B C C (2) ∠BOC= 900+ ∠A O O ． ． (3) S △ABC= (a+b+c)r 4.如图, △ABC各边分别切圆O于点D、E、F. D F E D F E

  17. A ． a+b-c O 2 ． F ． D ab ． a+b+c C B E 5.在Rt △ABC中, ∠ACB是直角,三边分别是a、b、c,内切圆半径是r,则: 内切圆半径r= 或r=

  18. 6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均为切线,则: (1)DC=AD+BC (2) ∠DOC=900

  19. 典型例题: 1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的切线交OC于点E,交AB于F. (1)说明D是AC的中点. C D (2)猜想DF与OC的位置关系,并说明理由. E B A O F O1 (3)若DF=4,求OF的长.

  20. 2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点P作圆O的切线交AD于点F,切点为E.2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点P作圆O的切线交AD于点F,切点为E. (1)求四边形CDFP的周长. D C P ． E (2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式. F Q ． A B O

  21. B A E O D C 2.已知PA切⊙O于A，PA= , ∠APO=30°，则PO长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3.如图，AB、AD、DC分别切⊙O于B、E、C， 且AB∥CD，则△AOD的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定

  22. A D O C B 4.如图，梯形ABCD外切于⊙O，AD∥BC， ∠B=60°，∠C=45°，⊙O的半径 为10，则梯形的中位线长（ ） A.10 B.20 C. D.

  23. 1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm； 2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， 设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____； 3、下列四个命题中正确的是（ ）． ①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线． A.①② B.②③ C.③④ D.①④

  24. D 例1、 ①如图，已知： AB为⊙O的直径，直线AC和⊙O相切于A点，AP为⊙O的一条弦． 求证:∠CAP=∠B 证明： ∵直线AC和⊙O相切于A点， AB为⊙O的直径 ∴∠CAB=90°，∠P=90° ∴∠1+∠CAP=90°，∠1+∠B=90° ∴∠CAP=∠B 1 另外，如右上图，若将①条件改为AB为⊙O的弦，那么结论还成立吗？说明理由。 思路：连结AO并延长，交⊙O于D点,连结PD 由①得，∠CAP=∠D,而∠D=∠B, ∴∠CAP=∠B 返回

  25. 4 2 3 1 例2、如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点P,Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系,并说明理由. 解：猜想直线PQ与⊙O相切，理由如下： 连结OP，CP ∵BC为⊙O的直径 ∴∠BPC=∠APC=90° 在Rt△ACP中,Q为斜边AC的中点 ∴PQ=CQ ∴∠1=∠2 ∵OP=OC ∴∠3=∠4 而∠BCA=90° 即∠1+∠3=90° 另解： 连结OP、OQ，利用三角形中位线去说明也可以。 ∴∠2+∠4= 90° 即OP⊥PQ (又∵OP为⊙O的半径) ∴ PQ为⊙O的切线 返回

  26. 例3.已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P.例3.已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. 试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由. 解： PC是⊙O的切线，理由如下： 直线y=-2x-4 令x=0，得y=-4;令y=0,得x=-2 ∴C(-2,0), P(0,-4) 又∵D(0,1) ∴OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 在△CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 ∴CD2+CP2=DP2 ∴△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线. 思考： 判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC=4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 返回

  27. 解：假设在直线PC上存在这样的点E(x0,y0),使得S△EOC =4S △CDO， ∵E点在直线PC：y=-2x-4上， ∴当y0=4时有： 当y0=-4时有： ∴在直线PC上存在满足条件的E点，其的坐标为(-4,4) , (0,-4) . 返回

  28. 课堂练习： 已知：如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由． 返回

  29. A O E F C B D 习题 1.如图，△BAC内接于⊙O,AD是直径， CE⊥AD,其延长线交AB于F. 求证：AC2=AF·AB. G

  30. 2. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦， AB与CD相交于E, ∠AEC＝45°, ⊙O的半径为r. 求证：EC2+ED2=2r2 . D O B A E C F

  31. C E F B A H O D 3.如图，AB是⊙O直径，CD⊥AB交AB于H, 交⊙O于E,D, CB交⊙O于F . 求证：∠CFE =∠DFB. 1 2

  32. C E A D F B 4.如图，两圆相交于A、B两点，过A点的 直线交两圆于C,D，过B点的直线交两 圆于E,F. 求证：EC∥FD.

  33. 5.△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC ∠BAC的平分线交BC于D，又⊙O的 半径为9，AB+AD=20，求AD的长. A O C D B E

  34. D C O E B A 6.梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°， AD=AB+DC，AD是⊙O的直径. 求证：BC和⊙O相切.

  35. A O E C D B 7.已知AB=AC，以AC为直径作⊙O与BC 交于D,作DE⊥AB于E. 求证：DE为⊙O的切线.

  36. 已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与 过点A的直线交于B点，OC=BC， O D C A B （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠ACD=450，OC=2，求弦CD的长．

  37. 　　补充：各边都和圆相切的四边形叫做圆的外切四边形，这个圆叫做四边形的内切圆　　补充：各边都和圆相切的四边形叫做圆的外切四边形，这个圆叫做四边形的内切圆 性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等 例：圆外切等腰梯形的腰长为6，则此梯形的周长是. 24

  38. 如图，⊿ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．如图，⊿ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD． （1）求证：AE=BD； （2）若AC⊥BC，求证：AD+BD= CD． Ｃ Ｅ Ｏ Ｂ Ａ Ｄ

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