概率论与数理统计

概率论与数理统计 第3章连续型随机变量

本章主要内容： • 随机变量及分布函数 • 连续型随机变量 • 多维随机变量及其分布 • 随机变量函数的分布 • 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 • 条件分布与条件期望、回归与第二类回归 • 特征函数

教学目的与要求 • 1．掌握分布函数的定义和性质； • 2．掌握连续型随机变量的概率密度，特别是均匀分布、指数分布、正态分布的概率密度；二维连续型随机变量的联合概率密度和边际密度。 • 3．掌握连续型随机变量的数学期望、方差。 • 4．掌握表示随机变量相互关系的数字特征：协方差、相关系数，随机变量的不相关与独立的异同。 • 5．掌握连续型随机变量函数的分布密度的求法，掌握卷积公式。 • 6.掌握特征函数及其应用

教学重点与难点 • 教学重点是分布函数与连续型随机变量的密度函数，期望、方差的有关概念。 • 教学难点是协方差、相关系数的有关计算，及卷积公式的应用。

一、随机变量 定义3.1 设（）是一个概率空间，对于是一个取实值的单值函数，对任意的x∈R，有{ }∈F，则称为（）上的一个（实）随机变量。 3.1 随机变量及分布函数【注】事件{ }简记为{ }。假设，{ }∈ ∵{ }={ }-{ } ∴{ } ∈ 又∵{ }∈ ,(n=1,2,3, …） ∴ ∈ 又∵ ＝

二、分布函数及其性质 下面总是假设给定概率空间，所讨论的R.V.是同一概率空间上的R.V. 【定义】

【例1】掷一枚均匀的硬币 ＝求R.V. 的d.f.F（x）【解】不难求得：

y=F（x） ． ○ 1 ○ x 0 1

【定理】（分布函数性质定理） • F ( x ) 单调不减，即 • 0≤F（x）≤1，且 • F ( x ) 左连续，即反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要条件。

推论：在分布函数的性质定理的条件下，对任意实数a＜b，有：推论：在分布函数的性质定理的条件下，对任意实数a＜b，有： P( )=F（b）-F（a） P( )=F（a+0）-F（a） P( )=1-F（a+0）其中F（a+0）＝

【例2】设R.V. 为: 求（1）P（2≤ <4）（2）P（ ≤ 3）（3）P（ =1）（4）P（ ≥ ）

【例3】设，求R.V. 的d.f 【解】

【例4】设母鸡在任意的 的时间间隔内下蛋个数服从泊松分布问两次下蛋之间的“等候时间” 服从什么样的分布函数？【解】设前一次下蛋时刻为0，因为不可能为负值，所以当t≤0时，而当t>0时，因为在等候的时间内鸡不下蛋，所以故有：

于是： ∵ 由概率的连续性即得： F(t)= = =

于是： 这是指数分布的分布函数。

【例5】测量时的舍入误差是R.V，求其d.f.F(x) 【解】

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