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轨迹方程探求. 常用方法. 几点注意. 例题选讲. 课堂练习. 1、直接法：根据动点( x ,y) 所满足的条件或其运动的规律，运用有关的公式、定理等将上述规律或条件“坐标化”，求得方程。 2、 定义法：动点所适合的条件经过等价变形后可以归结为直线或圆锥曲线所满足的几何条件，则可以用待定系数法设出轨迹方程，再由题目条件去确定待定的系数即可。 3、相关点法：若所求轨迹上的动点 P(x ,y)（ 从动点），依赖于已知曲线 C 上的动点 Q(x’,y’)( 主动点），则应结合条件与相关知识设法求得 x’=f(x,y), y’=g(x,y), 将其代入 C 的方程得解。
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轨迹方程探求 常用方法 几点注意 例题选讲 课堂练习
1、直接法：根据动点(x ,y)所满足的条件或其运动的规律，运用有关的公式、定理等将上述规律或条件“坐标化”，求得方程。 2、定义法：动点所适合的条件经过等价变形后可以归结为直线或圆锥曲线所满足的几何条件，则可以用待定系数法设出轨迹方程，再由题目条件去确定待定的系数即可。 3、相关点法：若所求轨迹上的动点P(x ,y)（从动点），依赖于已知曲线C上的动点Q(x’,y’)(主动点），则应结合条件与相关知识设法求得x’=f(x,y), y’=g(x,y),将其代入C的方程得解。 4、参数法：当很难或不能找到动点坐标间的直接关系时，可以选择一些与动点关系密切又互相制约的元素（如：直线的斜率、截距、角、点坐标等）作为参数，求得轨迹的参数方程，再消参即可。
1、解答轨迹问题时，要注意挖掘题目的条件，注意几何图形性质的应用，不要受限于上述的某一种方法，有时需要将几种方法结合到一起求解。1、解答轨迹问题时，要注意挖掘题目的条件，注意几何图形性质的应用，不要受限于上述的某一种方法，有时需要将几种方法结合到一起求解。 2、全方位、多层次地分析动点所满足的条件，多删少补。主要从以下几方面考虑：①特殊位置，如边界点、斜率不存在等。②几何图形的限制，如圆的过定点的弦的中点的轨迹（在圆内的部分）。③方程化简过程中的非恒等变形。④参数方程化为普通方程时，参数对x,y的范围的限制。⑤含有字母问题的讨论。 3、明白动点轨迹方程的两类不同题型要求的区别：①求轨迹方程；②求轨迹（需说明轨迹的形状）。
例题1、半径为1的圆C过原点O，Q为圆C与X轴的另一个交点，OQRP为平行四边形，其中RP为圆C的切线,P为切点，且P点在X轴的上方。当圆C绕原点O旋转时,求点R的轨迹方程。例题1、半径为1的圆C过原点O，Q为圆C与X轴的另一个交点，OQRP为平行四边形，其中RP为圆C的切线,P为切点，且P点在X轴的上方。当圆C绕原点O旋转时,求点R的轨迹方程。 y P R C x O Q
解：设点R(x,y)，圆心C(xo,yo)，则Q(2xo,0)，且由PR∥OQ，RP与圆C相切知：P(xo,yo+1),从而R (3xo,yo+1)，所以有 即 因为︱OC︱=1，即xo2+yo2=1 将①代入②得 当圆心C在y轴上时，OQRP不能构成平行四边形，则xo≠0即x≠0. 所以R点的轨迹方程为 (x≠0)
例题2、如图，给出定点A (a,0) (a>0),和直线l：x = -1,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。 y l B C x O A
解法一：设C(x,y),则0≤x﹤a,又设B(-1,b),(b∈R)。由于OC平分∠AOB，所以∠AOC= ∠COB。 当∠AOB≠1800时,知0<x<a,且0<x<∣y∣.于是有 而 = , =0, =-b,所以 ,整理得 ① . 又因为点C在直线AB上，因此有 ② 将①式代入②式，并整理得 当∠AOB=1800时, ∠AOC=900,这时x=0,y=0.经验证知点(0,0)也满足上述方程。 故点C的轨迹方程为 (0≤x﹤a) . (1)a=1时,方程为y2=x (0≤x﹤1) ，表示抛物线的一段。 (2)a ≠1时,方程为 (0≤x﹤a) ， a>1时，双曲线一支的一段。 当0<a<1时，椭圆的一段；
解法二：设C(x,y),则0≤x﹤a,又设B(-1,b),(b∈R)。则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx. 由于OC平分∠AOB，所以点C到OA、OB的距离相等，则有 ①。 又因为点C在直线AB上，因此有 ② 两式联立得 整理得 若y≠0,则 (0<x﹤a) 若y=0,则b=0, ∠AOB=1800,点C的坐标为（0,0)满足上式。 故点C的轨迹方程为 (0≤x﹤a) . （余下的同方法一）
解法三：设C(x,y),则0≤x﹤a,又设B(-1,b),(b∈R)。因为点C在直线AB上，由“三角形内角平分线性质定理”有 ，即 点C是线段 的定比分点，于是有 整理得 （消参，如何完成？） 两式相除可以进行消参，但要注意对b是否为零加以讨论。 （请同学们下去完成）
解法四：设C(x,y),则0≤x﹤a,又设∠AOB= , 则当时，从而B(-1,- ),由于OC平分∠AOB，所以∠AOC= 所以直线AB和OC的方程分别为： 和 两式联立并用万能公式消参得： (0<x﹤a) 而当 =1800 时，点C的坐标为（0,0)满足上式。 (讨论略)
例题3、如图，A、B是圆 上两个动点，且满足∠AOB= ，C(a,0) (a≥0且a≠2)是定点。当点A在圆上运动时（1）求⊿ABC重心G的轨迹方程；（2）求⊿ABC外接圆的圆心P的轨迹。 y 2 A B P G x O C -2 2 -2
解：⑴设点G(x,y), ,则 ，而C(a,0),由 重心坐标公式知 消参得 （2）设P(x,y),则 , , , 由∠AOP=600，在⊿AOP中，由余弦定理得： 化简整理得 ①当a=1时，轨迹为抛物线 。 ②当a=0时，轨迹为圆x2+y2=4 ③当0<a<1时，轨迹为椭圆 ④当a>1且a≠2时，轨迹为双曲线。
