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第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标. 定义 1 设 V 为 n 维 向量的非空集合，若 V 对 向量的加法、数乘两种线性运算 封闭 （即运算的结果仍为 V 中向量）， 则称 V 为 向量空间. 例 1 . 考察下列向量的集合是否为向量空间. 1.n 维实向量全体的集合：. 是. R n =. 第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标 ( 续 1). 例 1 . 考察下列向量的集合是否为向量空间. 是. 2.V 1 =. 3.V 2 =. 不是. 4.n 元齐次线性方程 AX=0 解向量全体的集合 S. 是.

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第四章 向量空间 §1 向量空间及其基、维数、坐标

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  1. 第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标 定义1 设V为n维向量的非空集合，若V 对向量的加法、数乘两种线性运算封闭 （即运算的结果仍为V中向量）， 则称V为向量空间. 例1.考察下列向量的集合是否为向量空间. 1.n维实向量全体的集合： 是 Rn=

  2. 第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续1) 例1.考察下列向量的集合是否为向量空间. 是 2.V1= 3.V2= 不是 4.n元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合S. 是

  3. 第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续2) 定义2 设V1,V2是两个向量空间,且V1V2, 则称V1为V2子空间. 例2 设L=L(α1, α2,..., αs)= {k1 α1+k2 α2+...+ks αs|ki∈R, αi∈Rn} 则L为向量空间，且 L Rn 即L为向量空间Rn的子空间，称其为 由向量α1, α2,..., αs生成的子空间.

  4. 第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续3) 定义3 设向量空间V中一组向量 A0: α1, α2,..., αr 满足： 1) α1, α2,..., αr线性无关； 2)V中任意向量α均可由向量α1, α2,..., αr线性表示: α=k1α1 +k2α2+...+krαr, 则称α1, α2,..., αr为V的一组基， 称V为r维向量空间 (V的维数为r),记作:dimV=r. 称k1,k2,...,kr为向量α在A0这组基下的坐标

  5. 第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续4) 1.n维实向量全体的集合Rn 为Rn的一组基 dimRn=n (任意n个线性无关的n维实向量均为Rn的一组基) 2.V1= ε2, ε3,…, εn为V1的一组基. dimV1=n-1

  6. 第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续5) 3.n元齐次线性方程AX=0的解空间S. 方程的基础解系为S的一组基. dimS=n-R(A). 4. L=L(α1, α2,..., αs)= { k1 α1+k2 α2+...+ks αs |ki∈R, αi∈Rn} α1, α2,..., αs的最大无关组为L的一组基. dimL=R[α1α2...αs]

  7. 第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续6) 例3. R2中,分别求向量β=(2,3)T在下列两组基下 的坐标. 解： β=2ε1+3ε2 ∴ β在基(I)下的坐标为2,3; 又β=3α1- α2 ∴ β在基(II)下的坐标为3,-1.

  8. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基 向量空间是几何空间的抽象.基是坐标系的抽象. 几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来. 的内积 定义：n维向量 性质： （等号当且仅当α=0时成立）

  9. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续1) 定义向量α的长度： || α||=1时，称α为单位向量. 性质： 称 为β的单位化向量（标准化向量）.

  10. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续2) 称 为β的单位化向量（标准化向量）. 例1 设α=k β,求α 的单位化向量α0. 解：

  11. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续4) 定理1 当α，β均非零向量时，定义α与β的夹角： (α,β)=0时，称α与 β正交. 零向量与任何向量正交.

  12. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续5) 定理2设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量. 则 α1，α2，…，αs线性无关 证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 两边与 αi 作内积,得： ki(αi，αi)=0, ∵ ∴ki=0, i=1,2,...,s. ∴α1， α2，…，αs线性无关.

  13. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续6) 定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一组基,且两两正交,则称 α1，α2，…，αs为V的一组正交基. 若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称 α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.

  14. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续7) Schmidt正交化方法 设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组. 1.正交化： 取 ... 则β1,β2,…, βr两两正交.

  15. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续8) Schmidt正交化方法 设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组. 2.标准化： 令 (i=1,2,...,r) e1,e2,…,er即为所求标准正交向量组.

  16. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续9) 正交矩阵 定义:若n阶实矩阵A满足：ATA=E， 则称A为正交矩阵. 性质：设A为正交矩阵，则 (1) |A|2=1； (2)A-1=AT亦为正交矩阵; (3) A的行（列）向量组为标准正交向量组. 反之亦然. 证：设A= =E ATA= 所以A的列向量两两正交且长度为1.

  17. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续10) 如A= 则ATA=E, ∴A为正交矩阵. 例1 设 A为正交矩阵，则A*亦为正交矩阵. 证：A*=|A|A-1, (A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)= |A|2AA-1 =E ∴A*亦为正交矩阵.

  18. 第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续11) 例2 .设α为n维列向量，且αTα=1, 求实数k,使 H=E- kααT为正交矩阵. 解:E=HTH ∴-2k+k2=0,k=2或k=0.

  19. 第四章 向量空间 §3 Rn上的线性变换 定义：若对Rn中的任意向量Ｘ，按照某一确定规则T， Rn中总有唯一确定的向量Ｙ与之对应.记为:Y=T(X). 且满足： 1）T(X1+X2)=T(X1)+T(X2); 2）T(kX)=kT(X). (k∈R;X1,X2∈Rn) 则称T为Rn上的线性变换.称Y为X在T下的像. 例 设A=[aij]n×n,对任意X∈Rn,Y=T(X)=AX,则T为Rn上的一个线性变换（从X到Y的线性变换）. A为可逆矩阵时，称Y=AX为可逆线性变换； A为正交矩阵,称Y=AX为正交变换. 设Y=AX为正交变换，则对任意α, β ∈Rn, 即正交变换保持内积不变，从而保持长度、夹角不变.

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