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PDE 期末報告

PDE 期末報告. 授課老師：陳正宗 終身特聘教授 學生：河工 3a 學號： B9752003. 熱傳導在三維的 等方向 均勻 介質裡的傳播可用以下方程式表達： 其中： u = u ( t ,  x ,  y ,  z ) 表溫度，它是時間變數 t 與 空間變數 (x,y,z) 的函數。 是空間中一點的溫度對時間的變化率。 u xx ,  u yy  與  u zz  溫度對三個空間座標軸的二次導數。 k  決定於材料的 熱傳導率 、 密度 與 熱容 。 熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論. 。. 常數變易法推導.

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PDE 期末報告

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Presentation Transcript

  1. PDE期末報告 授課老師：陳正宗 終身特聘教授學生：河工3a 學號：B9752003

  2. 熱傳導在三維的等方向均勻介質裡的傳播可用以下方程式表達：熱傳導在三維的等方向均勻介質裡的傳播可用以下方程式表達： • 其中： • u=u(t, x, y, z) 表溫度，它是時間變數 t 與 空間變數 (x,y,z) 的函數。 • 是空間中一點的溫度對時間的變化率。 • uxx, uyy 與 uzz 溫度對三個空間座標軸的二次導數。 • k 決定於材料的熱傳導率、密度與熱容。 • 熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論

  3. 。 常數變易法推導 • 假設有以下的微分方程：y”+py’+qy=f(x) • 我們首先求出對應的齊次方程的通解，其中C1、C2是常數，y1、y2是x的函數。 • 然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的通解中的常數C1、C2換成x的未知函數u1、u2，也就是： • y = u1y1 + u2y2。(1) • 兩邊求導，可得： • y' = u1' y1 + u2' y2 + u1y1' + u2y2'。 • 我們把函數u1、u2加上一條限制： • u1' y1 + u2' y2 = 0。(4) • 於是：y ' = u1y1' + u2y2'。(2) • 兩邊再求導，可得： • y" = u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2"。(3)

  4. 把(1)、(2)、(3)代入原微分方程中，可得： • u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2" + pu1y1' + pu2y2' + qu1y1 + qu2y2 = f(x)。 • 整理，得： • u1' y1' + u2' y2' + (u1y1" + pu1y1' + qu1y1) + (u2y2" + pu2y2' + qu2y2) = f(x)。 • 由於y1和y2都是齊次方程的通解，因此 • (u1y1“ + pu1y1‘ + qu1y1)和(u2y2” + pu2y2’ + qu2y2)都變為零

  5. 故方程化為：u1' y1' + u2' y2' = f(x)。(5) • (4)和(5)聯立起來，便得到了一個u1'和u2'的方程組。 • 解這個方程組，便可得到u1'和u2'的表達式；再積分，便可得到u1和u2的表達式。

  6. 題目

  7. 參考資料 • Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162. • 賈連廣(2008)-Fourier變換與Laplace變換在求解微分方程之比較 大慶師範學院 數學系,黑龍江 大慶 • Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1] • Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995) The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press. • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2. • 謝謝聆聽

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