Approximation von Nullstellen: Newtonverfahren

1. Approximation von Nullstellen:Newtonverfahren

2. Inhalt: • Das Problem • Allgemeine Iterationsverfahren • Anschauliche Deutung • Konvergenz • Kontraktionssatz • Konvergenzgüte • Quadratische Konvergenz • Startwert x(0) • Newton-Verfahren • Newtonsche Iterationsverfahren • Geometrische Deutung • Mehrfache Nullstellen

3. Das Problem • in einem normiertem Vektorraum (X,║∙║) eine Lösung der Operatorgleichung F(x)=0 zu finden. • F Abbildung F: D →X, D  X; • Nullstelle ξ von F • Nur in seltensten Fällen lässt sich Lösung in endlich vielen Schritten bestimmen.

4. Allgemeine Iterationsverfahren • Sei x  R. Für die Abbildung F: D→R betrachten wir x = F(x) zu deren Lösung der Iterationssatz x(k+1) = F(x(k)), k  N, mit vorgegebenem Anfangselement x(0) gebildet wird.

5. Allgemeine Iterationsverfahren • Zur Betrachtung des Iterationssatzes nehmen wir die Existenz einer Lösung ξ der Gleichung x = F(x) an. • Später: Frage der Existenz wird gleichzeitig mit der Frage der Konvergenz des Iterationsverfahrens beantwortet.

6. Allgemeine Iterationsverfahren • Anschauliche Deutung F  C[a,b] Beispiel1: Alternierend konvergent x(0) x(2) x(3) x(1) a ξ b

7. Allgemeine Iterationsverfahren • Anschauliche Deutung F  C[a,b] Beispiel2: Divergent a x(2) x(1) x(0) ξ b

8. Allgemeine Iterationsverfahren • Konvergenz Iteration konvergiert gegen Lösung ξ, falls limk→∞ x(k) = ξ gilt.

9. Allgemeine Iterationsverfahren • Hinreichende Konvergenzaussage nehmen an, dass • (X,║∙║) ein Banachraum und F: X→X, • und Operator F ist kontrahierend d.h. ║F(x) – F(z)║≤α║x - z║ mit α<1 für alle Elemente x,z  X.

10. Allgemeine Iterationsverfahren • Kontraktionssatz Ist F: X→X eine kontrahierende Abbildung, so besitzt sie genau einen Fixpunkt ξ = F ξ. Die Iteration konvergiert bei beliebigem x(0) gegen diesen Fixpunkt.

11. Allgemeine Iterationsverfahren • Lokale und globale Konvergenz • Konvergiert Folge für Anfangselemente x(0) aus Umgebung U  D des Fixpunktes ξ, nennen wir die Iteration lokal konvergent. (Abbildung F nur auf U kontrahierend) • Kann x(0) in gesamt D beliebig gewählt werden, heißt sie global konvergent.

12. Allgemeine Iterationsverfahren • Konvergenzgüte • Betrachten Folge (δ(k))kN der Abweichung δ(k) := x(k) – ξ • Mittelwertsatz liefert δ(k+1) = F(x(k)) – ξ = F‘(ξ + θδ(k)) δ(k) : 0 < θ < 1 • Wenn δ(k) 0, dann limk→∞δ(k+1)/δ(k) = F‘(ξ) • Wenn F‘(x)  0, dann lineare Konvergenz

13. Allgemeine Iterationsverfahren • Quadratische Konvergenz • jedoch wenn F‘(x) = 0, dann Konvergenz superlinear  mindestens quadratische Konvergenz • δ(k+1) = F(x(k)) – ξ = F‘‘(ξ + θδ(k))/2 * (δ(k))2 mit 0 < θ < 1 • limk→∞δ(k+1)/(δ(k))2 = F‘‘(ξ)/2

14. Allgemeine Iterationsverfahren • Startwert x(0) • F muss kontrahierend sein, um gegen Fixpunkt zu konvergieren. • Also muss ||F‘‘(ξ)/2|| < 1 sein. • Intervall [a,b] wird so lange verkleinert bis maxx[a,b] {||F‘‘(x)/2||} < 1 • Dann kann x(0) beliebig in Intervall gewählt werden.

15. Newton-Verfahren • Newtonsche Iterationsverfahren • Aufgabe: Lösung der Gleichung f(x) = 0 für f  C1[a,b] berechnen.

16. Newton-Verfahren • Newtonsche Iterationsverfahren • Betrachten g(x)f(x) = 0 mit g  C1[a,b] • Annahme g(x) ≠ 0 für x  [a,b], dann gilt, dass g(x)f(x) gleiche Nullstelle hat wie f(x) • Entsprechende Fixpunktgleichung x = x + g(x)f(x) =: F(x) • müssen g so bestimmen, dass F‘(ξ)=0

17. Newton-Verfahren • Newtonsche Iterationsverfahren • F‘(x) = 1 + g‘(x)f(x) + g(x)f‘(x) • Da f‘(ξ) ≠ 0 und f(ξ) = 0 muss g(ξ) = -(f‘(ξ))-1, also wählen wir g(x) = -(f‘(x))-1.

18. Newton-Verfahren • Newtonsche Iterationsverfahren x(k+1) = x(k) – (f‘(x(k))) -1f(x(k)) für f  C1[a,b] superlinear konvergent in Umgebung von ξ

19. Newton-Verfahren • Geometrische Deutung • f  C1[a,b], x(k) Nährungswert für Lösung ξ der Gleichung f(x) = 0 X(k+2) X(k+1) X(k) ξ

20. Newton-Verfahren • Geometrische Deutung • Tangente an f im Punkt (x(k),f(x(k))) y = f(x(k))+f‘(x(k))(x-x(k)) • Schnittstelle x(k+1) der Tangente mit Y-Achse x(k+1) := x(k) – f(x(k))/ f‘(x(k))

21. Newton-Verfahren • Startwert x(0) X(0) X(1) X(2) ξ

22. Newton-Verfahren • Mehrfache Nullstellen • f  Ci[a,b], i>1, ξ [a,b] ist i-fache Nullstelle • f(ξ)=f‘(ξ)=f‘‘(ξ)=…=f(i-1)(ξ)=0 und f(i)(ξ)≠0 • F ist in Umgebung um ξ stetig und diffbar mit F‘(ξ) = 1-1/i • Da i>1 gilt 0<F‘(ξ)<1 also  lokale lineare Konvergenz