Desy Putma H. (M0109018) Gunawan Prabowo (M0109033) Luk Luk Alfiana (M0109043)

1. SPESIFIKASI MODEL Anggotakelompok 5 : DesyPutma H. (M0109018) GunawanPrabowo (M0109033) LukLukAlfiana (M0109043) Nur Indah (M0109055) TatikDwi Lestari (M0109066)

2. Subyek : • Bagaimanakitamemilihnilai yang sesuaiuntukp, ddanquntukderetruntunwaktu yang diberikan? • Bagaimana kita mengestimasi parameter dari model ARIMA(p, d, q) ? • Bagaimana kita mengecek kesesuaian model yang terpilih?

3. memutuskan nilai p, d dan q. mengestimasi parameter-parameter ,  dan 2 dalam model Cekkesesuaian Jika model tidak sesuai ??? memilih model yang lain mengestimasi parameter-parameter model yang baru mengeceknya kesesuaiannya

4. SIFAT-SIFAT FUNGSI AUTOKORELASI SAMPEL • Estimasifungsiautokorelasi, untukderetobservasi, Z1, Z2 , ..., Zn, yaitu: • rkadalahfungsiautokorelasisampel yang merupakanpenaksirdariρk Penaksir yang baik : 1. tak bias 2. variansi minimum 3. konstan

5. Diperlukansampel yang cukupbesar Misal : Asumsi Mean nol, danvariansiberhingga

6. Untuksembarangnilai m, distribusibersama: Distribusibersama normal mean nol , variansicii, dancovariancescij, jadi., penaksirtak bias Untuk n besar mendekatidist.normal mean: variansi: ckk/n

7. Note: • Variansiberbandingterbalikdenganukuransampel. • Tetapi, korelasinyaakankonstanuntuk n besar. Berarti,

8. Beberapakasuskhusus {Zt} ~AR(1) {Zt} ~ white noise , makavar (rk)≈1/n Ingat ! Jadi, ρk = Økuntuk k=0,1,2,… untuk lag-lag yang lebihbesar Ø2k0, Untuk Ø± 1 , makavar (rk)  ∞ Ø= ±1 var (r1) ≈ 1/n Untuk n cukupbesarmakavar (r1)= 0 r1 ρ1 (r1penaksir yang cukupbaikuntukρ1)

9. Untuk AR(1) 0<i≤j

10. taksiranstandardeviasidankorelasidariautokorelasisampeluntukberbagainilai-nilai φ.Model ar(1)

11. Untuk Model MA(1) • Taksiranstandardeviasidankorelasidariautokorelasisampeluntukberbagainilai-nilaiθ.model ma(1) terlihatdaritabelbahwa autocorrelations sampelsangatberkorelasidanstandardeviasidarirkuntuk k> 1  lebihbesardaripadauntuk k = 1.

12. Model MA(q)

13. Kapankitamengatakanrk=0? Untukitudilakukanujihipotesis H0: ρk=0 H1: ρk≠0 Jikaadasatu set data, rkdapatdihitung, kemudianakandilihatuntuk lag keberaparkdapatdianggap nol. Ujihipotesis: JikaZtdapatdimodelkan MA(q) maka: (i) ρk = 0 (ii) Jika Ho benar ( ) maka Gunakanuntukmengujihipotesistersebut:

14. FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL(pacf) MA(q) ρk=0, untuk k>q Makarkmerupakanindikator yang baikdari order proses. AR(p) ρk ≠0, setelahsejumlah lag, makafungsiautokorelasitidakdapatdigunakanuntukmenentukanorde(p).

15. Zt normal BagaimanajikaZttidakberdist. Normal?

16. JikaZttidakberdist. Normal makafungsiautokorelasiparsialpada lag k dapatditentukanmenggunakankorelasiantarakesalahanprediksi

17. Korelasiresidu (PACF antara ) dan Telahdiketbahwa Untukmenetukan

22. PACF MA(q) miripdengan ACF AR(q) Bagaimanamenentukanfungsiautokorelasidari AR(q)? Bentukumumdari PACF prosesstasioneradalah:

23. 6.3 FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL SAMPLE

25. RUNTUN YANG DISIMULASI Untukmengilustrasikanteoribagian 6.1 dan 6.2, kitaakanmenganggapsampelfungsiautokorelasidansampelfungsiautokorelasiparsialdaribeberaparuntunwaktu yang disimulasi.

26. EXHIBIT 6.1sampelfungsiautokorelasi(ACF) untukwhite noise dgn n=121 Dari pers. 6.3 dapatdihitungstandardeviasidarirkyaitu 1/√n=1/ √121 =0.09 Sehingga interval konvidensi 95% darirkadalah ±0.18 Dari gambartersebutmakajelasbahwakorelasi(rk) dari 21 sampeldiatasterletakdiantara +0.18 dan -0.18

27. EXHIBIT 6.2 sampelfungsiautokorelasiparsial(PACF) untuk white noise dengan n=121 Disinitidakadalagidari 21 nilai PACF yang melampauibatas. Karena white noise dapatdianggapsbg AR(p) dgn p=0 (Quenouille’s (1949) ) makadapatdigunakanuntukmendugasignifikansidariestimasi.

28. EXHIBIT 6.3 sampelfungsiautokorelasiuntukruntun AR(1) dengan ∅=0.9 dandisimulasi n sebanyak 59 • Padaumumnya, plot menunjukkankecenderunganeksponensialkemudianmenghilangdenganmeningkatnya lag. dari table 6.1 standardeviasi r1 kira-kira , dan r2 Nilaiygdiestimasiρk = Økuntuk k=0,1,2,… maka ρ1 =0.9 dan ρ2 =0.81.

29. EXHIBIT 6.4 sampelfungsiautokorelasiparsialuntukruntun AR(1) dengan∅=0.9 dan n=59 Interval konvidensi 95% sebesar ±2/√n= ±2/√59=0.26

30. EXHIBIT 6.5sampelfungsiautokorelasiuntukruntun AR(1) dengan∅=0.4 dan n=119 ρk = Øk Maka ρ1 =0.4 dan ρ2 =0.16 Yang telahdiestimasidengan r1 =0.409 dan r2 =0.198

31. EXHIBIT 6.6sampelfungsiautokorelasiparsialuntukruntun AR(1) dengan∅=0.4 dan n=119 Terdapatsatunilaiautokorelasiparsial yang tidaksignifikanyaitu lag pertama Interval konvidensi 95% sebesar ±2/√n= ±2/√119=0.183

32. EXHIBIT 6.7sampelfungsiautokorelasi(ACF)untukruntun AR(1) dengan∅=-0.7 dan n=119 Dari gambarterlihatadanyaosilasi (variasiperiodikterhadapwaktu) dalam ACF ketikanilai∅=-0.7

33. EXHIBIT 6.8sampelfungsiautokorelasiparsial(PACF) untukruntunAR(1) dengan∅=-0.7 dan n=119

34. EXHIBIT 6.9sampelfungsiautokorelasiuntukruntun AR(2) dengan ∅1=1.5 dan ∅2=-0.75 dan n=119 Menunjukkanadanyadamped sine wave (lembahgelombang sinus) dengan 12 periodedandamping factor=0.866. danmengosilasidenganperiodekira-kira 11 atau 12

35. EXHIBIT 6.10sampelfungsiautokorelasiparsialuntukruntuk AR(2) dengan ∅1=1.5 dan ∅2=-0.75 dan n=119 Interval konvidensi 95% adalahsebesar

36. EXHIBIT 6.11sampelfungsiautokorelasiuntukruntun MA(1) denganθ=0.9 denga n=120 dari table 6.2 standardeviasidari r1 kira-kira konfidensi 95% dari r1sebesar Untuk lag lebihbesardari 1, table 6.2 memberikanstandardeviasidarirkyaitu Dan interval konvidensinyasebesar r1 = -0.519

37. EXHIBIT 6.12sampelfungsiautokorelasiparsialuntukruntun MA(1) denganθ=0.9 dengan n=120

38. EXHIBIT 6.13sampelfungsiautokorelasiuntukruntuk ARMA(1.1) dengan ∅=0.8 danθ=0.4 dengan n=99

39. EXHIBIT 6.14sampelfungsiautokorelasiparsialuntukruntuk ARMA(1.1) dengan ∅=0.8 danθ=0.4 dengan n=99

40. NONSTATIONARY model ARMA Time series plot ACF

41. Definisi fungsi autokorelasi secara implisit mengasumsikan stasioneritas Misalnya: Menggunakan hasil deviasi yang di lag kan dari mean dari pembilang dan penyebut mengasumsikan variansi yang konstan tidak jelas apakah ACF  mengestimasi untuk proses nonstasioner Namun demikian,untuk series nonstasioner , ACF biasanya menghilang dengan cepat. Nilai rk tidak harus terlalu  tinggi bahkan untuk lag yang rendah,tetapi harus sering muncul.

42. Exhibit  6.15 memberikan sampel ACF untuk IMA(1,1 dengan =0.4

43. 6.15 Fungsi Autokorelasi sampel untuk runtun IMA(1,1) yang di difference satu kali dengan =0.4

44. Kemudiandibuat plot time seriesZt untuk memeriksa  stasioneritas

45. Jika differencing pertama dan sampel ACF nya belumsesuaistasioneritas model ARMA , maka didiferencinglagikemudian menghitung kembali ACFsampaisesuaidenganproses stasioner ARMA. Selainmenggunakandifferensingjugabisamenggunakantransformasilogaritmaatau bisa juga menggunakan transformasi pangkat agar dapatmencapaistasioner.

46. OVERDIFFERENCING • Dari latihan 2.6 pada chapter 1 kita mengetahui difference dari proses stasioner juga stasioner. Dan difference dari proses tidakstasioner bisamenghasilkanprosesstasioner. • Namun, differensing yang berlebihan cenderung menghasilkan korelasi yang besardalam model dan mungkin membuat model yang relatif sederhana menjadi kompleks. • Dengan contoh, andaikan series observasi random walk maka: • Jika didifferencingsekalimakaperoleh Yang merupakan model MA(1) dengan  = 1. Wt = Zt – Zt-1 = at Wt = at – at-1 Zt = at – at-1

47. SPESIFIKASI DARI BEBERAPA RUNTUN WAKTU AKTUAL Misalkansekarangspesifikasi model untukbeberaparuntunwaktuaktual. Kembalipada data tingkatpenganggurankuartalanpadabab 1. • Misalkansekarangspesifikasi model untukbeberaparuntunwaktuaktual. Kembalipadatingkatpenganggurankuartalanpadabab 1. • Runtunwaktudiplotdalam Exhibit 1.1. Plot menunjukkanperubahanataswaktudankitamengharapkankorelasipositifpada lag rendah. • Hal inidalam ACF sampel yang diberikandalam Exhibit 6.17 yang menyarankanpendekatan model AR(2). Dalamhalinin=121 dan2/n =  0,18 sehinggatidakadanilai PACF yang berbedasecarasignifikandengannoluntuk lag melampaui 2. • Dengankorelasikuatpada lag 1, kitaakanmemutuskanjugauntukmenganggap model non stasionerdengand=1 tetapi AR(2) nampakmenjadipilihanpertamakita. Runtunwaktudiplotdalam Exhibit 1.1. Plot menunjukkanperubahanataswaktudankitamengharapkankorelasipositifpada lag rendah.

48. Time series plot untuk data tingkatpenganggurankuartalan

49. Exhibit 6.17 ACF dari data tingkatpenganggurankuartalan Terdapatpenurunansecaraexponensialdari plot ACF diatas

50. PACF dari data tingkatpenganggurankuartalan tidakadanilai PACF yang berbedasecarasignifikandengannoluntuk lag melampaui 2. Jadiberdasarkan ACF dan PACF dapatdisimpulkanbahwamodelnyaadalah AR(2)