Wykład 4

1. Wykład 4 5.3 Prawo Gaussa w postaci różniczkowej Korzystając z równania (3.8) możemy sformułować twierdzenie Gaussa, które mówi, żecałkowity strumień wektora wychodzącyprzez powierzchnię zamkniętą otaczająca jakiś obszar w polu wektorowym, jest równy rozciągniętej na całą objętość obszaru całce z dywergencji tego wektora. E d dA divE Reinhard Kulessa

2. (5.6) Jeśli porównamy równania (5.5) i (5.6) to otrzymamy różniczkową postać prawa Gaussa. (5.7) Ładunki elektryczne możemy więc nazwać źródłami pola elektrycznego. Gdy nie ma wypływającego z objętości strumienia, nie ma źródeł. Pole v, dla którego div v = 0 jest polem bezźródłowym. Reinhard Kulessa

3. 5.4 Twierdzenie Stokes’a Analogicznie do związku pomiędzy dywergencją a przestrzenną gęstością strumienia pola wektorowego, istnie je związek pomiędzy składowymi rotacji a powierzchniowymi gęstościami odpowiednich cyrkulacji. Wektor n jest wektorem prostopadłym do elementu powierzchni dA. Wobec tego wektor dA = dA n dA A n Powierzchnia A jest naciągnięta na pętlę  rotv Reinhard Kulessa

4. Określa to twierdzenie Stokes’a (5.8) Pole wektorowe może być polem sił F. Wiemy, że pole wektorowe jest polem bezwirowym, jeśli rotacja tego pola jest równa zero. Dla bezwirowego pola sił (rot F = 0) wynika, że praca siły F po zamkniętym obwodzie jest równa zero. Takie pole sił nazywamypolem zachowawczym. Reinhard Kulessa

5. O polu elektrycznym wiemy, że jest polem centralnym. Dla pola centralnego cyrkulacja wektora pola jest równa zero, czyli Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego spełnia tą zależność: Weźmy rozkład linii sił natężenia pola pochodzących od ładunku punktowego. Reinhard Kulessa

6. Krążenie natężenia pola elektrycznego liczymy po zielonym konturze . Na łukach E  Na promieniach przyczynki się nawzajem znoszą. Wynika stąd, że . . Czyli, Pole elektrostatyczne jest więc polem bezwirowym. Reinhard Kulessa

7. Z bezwirowości pola elektrostatycznego wynika istnienie potencjału skalarnego V(r) takiego, że; (5.9) 5.5 Potencjał skalarny pola elektrycznego. Do wyrażenia na natężenie pola elektrycznego postaci (5.9) możemy dojść w oparciu o wzór (5.3). (5.3) Reinhard Kulessa

8. Występujący w tym wzorze element objętości d możemy zapisać jako d = d3. Zauważmy, że dla funkcji występującej pod całką występuje następująca zależność: . Wiedząc, że składowe gradientu są następujące: Reinhard Kulessa

9. , oraz otrzymamy: Reinhard Kulessa

10. W oparciu o podane wyrażenia możemy wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od objętościowego rozkładu ładunków (5.3) napisać następująco: . Funkcję skalarną (5.10) Nazywamy skalarnym potencjałem pola elektrycznego. Reinhard Kulessa

11. Analogiczne wyrażenia na potencjał pola dla układu ładunków powierzchniowych, punktowych i dla ładunku pojedynczego możemy wyprowadzić odpowiednio w oparciu o równania (5.3a), (5.2) i (5.1). Dla pojedynczego ładunku w oparciu o wzór (5.1) mamy: Wiadomo, że , Reinhard Kulessa

12. Czyli . . Po wycałkowaniu otrzymujemy : Przyjmujemy, że w nieskończoności (r =) potencjał pochodzący od ładunku Q jest równy zero. Musimy wtedy przyjąć, że stała C jest równa zero. Reinhard Kulessa

13. Ten sam wynik otrzymamy, jeśli wprowadzimy odpowiednie granice całkowania (5.11) Można łatwo pokazać, że wyrażenie pod całką jest równe czyli , (5.11a) Potencjał określony we wzorze (5.11) jest równy pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku jednostkowego q=1C z nieskończoności na odległość r od ładunku Q. Reinhard Kulessa

14. W oparciu o definicję potencjału (5.11a) możemy zdefiniować różnicę potencjału UAB pomiędzy dwoma punktami pola elektrostatycznego. (5.11b) Ze względu na to, że pole elektryczne jest polem centralnym i ma charakter zachowawczy (r. (5.9) ), tak samo jak w mechanice, praca potrzebna na przesunięcie ładunku w polu jest niezależna od drogi po której ją wykonujemy. Reinhard Kulessa

15. Q1 Q2 Q3 Q1 Q2 Q3 Praca potrzebna do przesunięcia ładunków Q z A do B w polu elektrycznym jest taka sama niezależna od drogi. A B Reinhard Kulessa

16. Q Praca wykonana na przesunięcie ładunku po drodze zamkniętej jest równa zero Reinhard Kulessa

17. Ponieważ ds Możemy w oparciu o ostatnie równanie napisać; 2 1 (5.12) Dla układu N ładunków punktowych otrzymamy na potencjał w punkcie r wyrażenie: (5.13) Reinhard Kulessa

18. 5.5 Równanie Poissona i Laplace’a Pamiętamy podane w równaniu (5.7) różniczkowe prawo Gaussa. Jeśli do tego równania podstawimy wartość natężenia pola elektrycznego E(r) wyrażone przez potencjał pola V(r) zgodnie ze wzorem (5.9), otrzymamy następujące równanie: (5.14) zwane równaniem Poissona. Reinhard Kulessa

19. Ostatnie równanie możemy napisać w postaci operatorowej. Z drugiej strony Reinhard Kulessa

20. Operator nosi nazwę laplasjanu. (5.15) Bardzo często stosuje się zapis . W przypadku pola bezźródłowego równanie Poissona przechodzi w równania Laplace’a. (5.16) Reinhard Kulessa

21. Równanie Poissona i Laplace’a, oraz prawo Gaussa, są trzema podstawowymi równaniami pola elektrycznego E. Wynikają one Bezpośrednio z prawa Coulomba. Wprowadzenie strumienia pola elektrycznego  było praktyczne i poglądowe, lecz można się było bez tego obyć. Reinhard Kulessa

22. 5.6 Podsumowanie wiadomości o polu elektrycznym Na poprzednich wykładach poznaliśmy następujące informacje dotyczące pola elektrycznego: • Cyrkulacja pola • Rotacja pola , definicja pola bezwirowego, pola o zerowej rotacji • Twierdzenie Stokes’a, podjące związek pomiędzy całką • po konturze, a całką powierzchniową, • Definicja gradientu pola, • Istnienie dla pola elektrycznego, które jest bezwirowe potencjału skalarnego, którego gradient jest równy natężeniu pola elektrycznego. Reinhard Kulessa

23. Dywergencję funkcji wektorowej, • Prawo Gaussa, również w postaci różniczkowej • Twierdzenie Gaussa podające związek pomiędzy całką powierzchniową a objętościową , • Definicja potencjału skalarnego pola , • Równania Poissona i Laplace’a pozwalające wyliczyć potencjał pola, Rozważmy pole elektryczne, dla którego gęstość ładunku =0. Wtedy dla potencjału spełnione jest równanie Poissona z =0, czyli równanie Laplace’a, V=0 . Jednoznaczne znalezienie potencjału wymaga dodatkowo podania warunków brzegowych, inaczej zawsze można by podać rozwiązanie V0. Reinhard Kulessa