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7 线性离散控制系统

7 线性离散控制系统. 7.1 引言 7.2 采样过程的数学描述 7.3 信号恢复 7.4 Z 变换理论 7.5 采样系统的数学模型 7.6 离散控制系统分析 7.7 数字控制器的设计 7.8 Matlab 在离散系统中应用. 7 ． 1 引言. Digital Compute. Digital-to-analog converter. Actuator. process. Analog-to-digital converter. Measurement sensor.

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7 线性离散控制系统

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Presentation Transcript

  1. 7 线性离散控制系统 7.1 引言 7.2 采样过程的数学描述 7.3 信号恢复 7.4 Z变换理论 7.5 采样系统的数学模型 7.6 离散控制系统分析 7.7 数字控制器的设计 7.8 Matlab在离散系统中应用

  2. 7．1 引言 Digital Compute Digital-to-analog converter Actuator process Analog-to-digital converter Measurement sensor 7.1.1 直接数字控制系统（DDC—Direct Digital Control） input digital 图7-1 直接数字控制系统（DDC）

  3. Computer Analog-to-digital Digital-to-analog Input Output Analogue regulator sensor process actuator 7.1.2计算机监督控制系统（SCC—Surveillance Computer Control System） …… …… 图7-2 计算机监督控制系统（SCC）

  4. MIS MIS MIS SCC SCC SCC SCC DDC DDC DDC DDC process process 7.1.3 集散控制系统（TDC—Total and Distributed Control） 集中调度控制中心 子调度控制中心 ……… ………………………. 图7-3 集散控制系统（TDC）

  5. 7.2 采样过程的数学描述 7.2.1 采样过程及其数学描述 7.2.2 采样定理 7.2.3 采样周期的选择

  6. 7.2.1 采样过程及其数学描述 载波器 脉冲调制器 在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置 ，如图7-4所示。 e（t） e*（t） e（t） e*（t） 图7-4 采样开关

  7. 将断续信号用如下数学式子表示 对离散信号e*（t）取拉氏变换，可得 e*(t)= (7-2) E*(s)=L[e*(t)]= L (7-5) = 图7-6 连续信号e（t）与断续信号e*（t）

  8. 例7.1 设e（t）=1（t），试求e*（t）的拉氏变换。 解： 由式（7-5）有 E*(s)= =1 + e-TS + e-2TS + …… =

  9. 观察分析式（7-2），我们可以看出 ) 是周期函数，因此，可将其展开成富里哀级数 (7-6) 式中 称为系统的采样频率。 = Ck= (7-7)

  10. 将上述式子代入式（7-2），有 (7-8) 对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，我们得到E*（s） E*(s)= (7-9) 式（7-9）在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。假定连续信号e（t）的频谱是单一的连续频谱，如图7-7所示。

  11. E(j ) - 0 (a)连续信号e（t）的频谱 - - 0 - (b)离散信号e*（t）的频谱（ ＞2 ）

  12. 7.2.2 采样定理 为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍，即 (7-10) 或 T (7-11)

  13. 理想滤波器 的滤波特性为 1 (7-12) 0 其频率特性如图7-8 - 图7-8 理想滤波器的频率特性

  14. 7.2.3 采样周期的选择 采样周期T（秒） 控制过程 1 流量 5 压力 5 液位 20 温度 20 成分 工程实践表明，根据表7-1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。 表7-1 工业过程T的选择

  15. 从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为 (7-13) 由于T＝2 ，所以采样周期可按下式选取： (7-14) 采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取：

  16. (7-15) 或者 (7-16)

  17. 7.3 信号恢复 7.3.1 零阶保持器 7.3.2 一阶保持器

  18. 无畸变地重现原连续信号的理想滤波器应该具有频率特性（如图7-8所示）无畸变地重现原连续信号的理想滤波器应该具有频率特性（如图7-8所示） 1 0 经过采样——理想滤波后，脉冲序列的频谱为 (7-18)

  19. 7.3.1 零阶保持器 x(t) x*(t) Xh(t) Gh（s） K a) 零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。如图7-11所示，零阶保持器的输出为阶梯信号。 采样开关 保持器

  20. 由于 ，（k=0,1,2,…）所以保持器的输出 与连续输入信号 之间的关系式为 (7-19) 的拉式变换则为 (7-20) 上式与式（7-5）比较后，知道零阶保持器的传递函数为 (7-21)

  21. b) 图7-11 应用零阶保持器恢复信号 零阶保持器的频率特性为 (7-22)

  22. 其幅频特性和相频特性如图7-12所示。 2 3 - -2 -3 图7-12 零阶保持器的频率特性

  23. 7.3.2 一阶保持器 一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式中t`为kT到（k＋1）T之间的时间变量。如图7-13所示 。 (7-23) 0 t 2t 3t ….. 图7-13 应用一阶保持器恢复信号

  24. 一阶保持器的脉冲响应函数应该如图7-14所示的那样。一阶保持器的脉冲响应函数应该如图7-14所示的那样。 ②单位斜坡 ⑥单位斜坡 ①单位阶跃 h(t) ⑤单位阶跃 1 0 -T T t ③2×单位阶跃 -1 ④2×单位阶跃 a）一阶保持器的脉冲响应函数 b）脉冲响应函数的分解 图7-14

  25. 按图7-14b，根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数按图7-14b，根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数 (7-24) 或 (7-25) 一阶保持器的频率特性为 (7-26)

  26. 式中 ＝tg-1 T (7-27) 图7-15就是按上式画得的幅频特性。虚线 为零阶保持器的频率特性 。 2 3 - -2 图7-15 一阶保持器的频率特性（虚线为零阶保持器的频率特性）

  27. 7. 4 Z变换理论 7.4.1 Z变换 7.4.2 Z变换的性质 7.4.3 Z反变换

  28. 7.4.1 Z变换 由式（7-5）可知，断续函数x*（t）的拉氏变换为 X*（S）= X(kT)e-kTS (7-28) 若令 eTS = Z (7-29) 则将在S域分析的问题变成Z域的分析问题。 X ( Z ) = X(kT)Z-k (7-30)

  29. X（Z）称为X*（t）的z 变换，记为 z z = X(Z) = X(kT)Z-k (7-31) 在Z变换中，X（Z）为采样脉冲序列的Z变换，即只考虑采样时刻的信号值。由于在采样时刻，X（t）的值就是X（kT）,所以从这个意义上说，X（Z）既是X*（t）的Z变换，也可以写为X(t)的Z变换，即 Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k (7-32)

  30. 例：已知函数x1( t )=1( t ),x2( t )= δ(t-kT),求它们的Z变换表达式。 解：X1（Z）= 1（kT）Z-k = 1 + Z-1 + Z-2 + … = = X2（Z）= δ（t-kT）Z-k =

  31. 对于较复杂的函数求Z变换表达式时，可以用如下公式法对于较复杂的函数求Z变换表达式时，可以用如下公式法 已知G(s),若si为G(s)的极点，则 a = 式中

  32. 例：已知G( s )= , 求G(Z)。 解： = Res = G( s ) - = = 0－(eaT－1) = 1－eaT G(Z) = + =

  33. 7.4.2 Z变换的性质 • 线性定理 • 式中a1,a2,···为常数。 • (2) 实平移定理 z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + ··· (7-33) z = Zm (7-34) z = Z-m X(Z) (7-35)

  34. 证明： z = = Zm = Zm 又z = = = Z-m

  35. 前面假定k<0时X(kT)=0 。 z = Z-m X(Z) 例：已知 x( t )= t2 , 求X(Z)。 解： x( t )= t2 , x(0)=0。 设 x(t+T)= （t+T）2 = t2 + 2Tt + T2 x(t+T)－x(T) = T (2t + T) 对上式两边取Z变换

  36. Z = z = T2Z 由实位移定理有 Z （z-1）x(z)

  37. (3)复平移定理 z (7-36) 例 已知 , 求X（Z） 解 z z

  38. (4)复域微分定理 Z (7-37) 例 已知x(t)=t3 ,求 X(Z) 解 zt2= zt3=-TZ

  39. (5)初值定理 (7-38) 证明：由Z变换的定义有

  40. (6) 终值定理 (7-39) 证明 : 由Z变换的定义有 由实位移定理有 Z Z[x(Z)-x(0)]

  41. 上二式相减有 = 例已知求的Z变换

  42. 解 z 由实位移定理有 z 由微分定理有 z =

  43. 7.4.3 Z反变换 • 幂级数法 • 通常Z变换表达式有如下形式： (7-40) 实际的物理系统满足n,则用综合除法有 X(Z)= (7-41)

  44. 由Z变换的定义式可知 则 即为x(z)的原函数 例 求

  45. 解X(z)= = （2）部分分式法 部分分式法又称查表法。它的基本思想是将X（Z）/Z展开成部分分式，

  46. (7-42) 然后，查Z变换表，即可求取X（Z）的原函数x(kT) 例已知 求 X(kT) 解： = - =

  47. X(Z)= － 查Z变换表有 x(kT)=1－e-akT x*( t )= (1－e-akT)δ(t-kT) （3） 留数法 由Z变换的定义式有

  48. X(Z)= X(kT)Z-k = x(0) + x(T)Z-1 + x(2T)Z-2 + … (7-43) 上式两端乘以Zk-1有 X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-2 (7-44) + … + x(kT)Z-1 + … 上式为罗朗级数，x（kT）是Z-1项的系数，根据复变函数中求罗朗级数系数的公式，得

  49. x(kT) = (7-45) 在此，积分路径包围X（Z）Zk-1的所有极点。根据留数定理，则上式可写成： x(kT) = Res (7-46) 式中Res[·]表示函数的留数。

  50. 7.5 采样系统的数学模型 7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程 7.5.2 脉冲传递函数

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